Manfred Börgens
Mathematik auf Briefmarken  # 52
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Marke mit 39. Mersenne-Primzahl und log. Spirale   Liechtenstein 2004

  Michel 1357



Logarithmische Spirale und 39. Mersenne-Primzahl


Liechtenstein hat mit dieser Briefmarke den Freunden der mathematischen Philatelie eine Freude gemacht. Die Marke weist einen hohen mathematischen Gehalt auf und macht neugierig auf die Bedeutung der abgebildeten Kurve und der Zahl. Die beiden stehen unabhängig voneinander für die Gebiete Analysis und Zahlentheorie.


Logarithmische Spirale

Die abgebildete Kurve ist eine logarithmische Spirale, also mit der Gleichung in Polarkoordinaten  r = d·ep·φ . Dabei steht  r  für den Abstand zum Koordinatenursprung und  φ  für den Winkel mit der positiven Richtung der  x-Achse; dies sieht man für einen Punkt der Kurve in der folgenden Skizze:

Polarkoordinaten

d  und  p  sind zunächst frei wählbare positive Parameter für die logarithmische Spirale.  d  ist dabei nur ein Maßstabsfaktor, der hier beliebig eingesetzt werden kann, da der Grafiker die Achsen und deren Beschriftung fortgelassen hat; also setzen wir  d = 1 . Aber das  p  lässt sich bestimmen, wenn man die Marke analysiert. Dazu vermisst man die Schnittpunkte der Spirale mit den drei eingezeichneten Geraden. Nimmt man zwei dieser Punkte mit den Polarkoordinaten  (r11)  und  (r22) , so lässt sich  p  aus diesen vier Werten berechnen. Da die Briefmarke mehrere dieser Schnittpunkte zeigt, kann man das Ergebnis an vielen Punktepaaren überprüfen. So erhält man für  p :

p=.3

Die Marke aus Liechtenstein zeigt also die Spirale mit der Gleichung  r = e0,3·φ .

Die Geraden, Kreise und blauen Flächen, die der Kurve unterlegt sind, sollen charakteristische Eigenschaften der logarithmischen Spirale aufzeigen:

Eine logarithmische Spirale schneidet alle Geraden durch den Ursprung (unendlich oft) unter demselben Winkel  α , nämlich  α = arccot p . Anders ausgedrückt: Der Tangens dieses Schnittwinkels  α  ist  1/p . Hier ergibt sich für  p = 0,3 : α  73,3°.

Alle Kreise um den Ursprung werden ebenfalls von einer logarithmischen Spirale (jeweils genau einmal) unter demselben Winkel  β  geschnitten, nämlich  β = arctan p = 90° - α . Anders ausgedrückt: Der Tangens dieses Schnittwinkels  β  ist  p . Hier ergibt sich für  p = 0,3 : β  16,7° .

Wir betrachten nun die Schnittpunkte der Spirale mit den Geraden (diese folgen im Winkelabstand von  φ = 60° = π/3  aufeinander). Die Abstände dieser Punkte vom Ursprung bilden eine geometrische Folge. Für zwei aufeinanderfolgende Schnittpunkte mit den Polarkoordinaten  (r11)  und  (r22)  ist  k = r2/r1 = e0,3·(φ2-φ1) = e0,3·φ = eπ/10  1,369  der Progressionsfaktor.

Die Flächeninhalte der von der Spirale durchlaufenen blauen Flächen bilden ebenfalls eine geometrische Folge. Zusätzlich zu den schon verwendeten Punkten  (r11)  und  (r22)  nehmen wir den nächstfolgenden Schnittpunkt  (r33)  hinzu. Die beiden zugehörigen blauen Flächen werden dann von der Kurve zwischen  (r11)  und  (r22)  bzw.  (r22)  und  (r33)  durchlaufen. Ihre Flächeninhalte sind  A1 = (r22-r12π/6 = (k2-1)·r12·π/6  und  A2 = (r32-r22π/6 = (k4-k2)·r12·π/6 = k2·A1 . Hier ist also  k2 = eπ/5  1,874  der Progressionsfaktor.

Eine logarithmische Spirale wurde auch schon bei der Briefmarke des Monats Februar 2001 aus der Schweiz diskutiert. Die beiden Spiralen sind sich so nahe wie Liechtenstein und die Schweiz (dort ist  p  0,30635 ), aber die Vermutung, dass sie sogar gleich sein könnten, lässt sich nach einer genauen Analyse der Liechtenstein-Marke nicht erhärten.


39. Mersenne-Primzahl

Primzahlen der Form  mp = 2p - 1  heißen Mersenne-Primzahlen. Statt mit dem Index  p  kann man sie auch der Größe nach nummerieren; die  n-te Mersenne-Primzahl heißt dann  m#n . Die Folge der Mersenne-Primzahlen beginnt mit:

m#1 = m2 = 3
m#2
 = m3 = 7
m#3
 = m5 = 31
m#4
 = m7 = 127
m#5
 = m13 = 8191
...


Diese Zahlen sind nach dem französischen Mönch Marin Mersenne (1588 - 1648) benannt, der  2p - 1  bis  p = 257  untersuchte. Die ersten vier waren schon in der Antike bekannt, im Verbindung mit den vollkommenen Zahlen; dieser Zusammenhang wird weiter unten noch erläutert. Sieht man sich diese ersten vier Mersenne-Primzahlen an, so sieht es danach aus, dass  p  die Folge aller Primzahlen durchläuft, und in der Tat glaubte man das bis immerhin 1536. Aber schon  m#5  zeigt, dass es auch Primzahlen  p  gibt, für die  2p-1  nicht prim ist, denn  m#5 = m13 ; also führt  p = 11  offenbar nicht auf eine Mersenne-Primzahl. Dies wurde erst anderthalb Jahrtausende nach der Erkundung von  m#1 ... m#4  durch die Griechen bekannt. Hudalricus Regius fand 1461  m#5  und wies 1536 nach, dass  211 - 1 = 2047 = 23·89  nicht prim ist. Aber der andere Teil der Vermutung ist richtig:  p  muss prim sein, damit  2p-1  prim ist. Dafür gibt es einen einfachen Beweis:

Beweis von 2^n-1 prim -> n prim

Seit der Entdeckung von Hudalricus Regius hat man intensiv nach weiteren Mersenne-Primzahlen gesucht. Leonhard Euler fand 1750  m#8 = m31 ; alle anderen Mersenne-Primzahlen wurden erst ab 1883 entdeckt. Bis zum Tag der Publikation dieser Seite (2005-09-05) hat man insgesamt 42 von ihnen gefunden. Die größten acht der bis jetzt bekannten Mersenne-Primzahlen wurden im Rahmen des GIMPS-Projektes entdeckt; GIMPS steht für Great Internet Mersenne Prime Search und vereint viele hundert Mitstreiter, die durch das Internet verbunden sind und ihre Rechner für die Suche nach Mersenne-Primzahlen zur Verfügung stellen. Die 42. bekannte Mersenne-Primzahl, entdeckt von Martin Nowak am 18.2.2005, ist nicht notwendigerweise  m#42 , denn ab  m#39  sind die Lücken zwischen den bekannten Mersenne-Primzahlen noch nicht vollständig überprüft worden. Nowaks  m25.964.951  ist auch die größte zur Zeit bekannte Primzahl.

Die Mersenne-Primzahl auf der Briefmarke ist  m#39 = m13.466.917  und wurde von Michael Cameron am 14.11.2001 gefunden. Sie ist bis heute die größte Mersenne-Primzahl, deren Nummer bekannt ist.

Eine Mersenne-Primzahl war schon einmal ein philatelistisches Objekt. Am 2.6.1963 entdeckte Donald B. Gillies  m#23 = m11.213  und wurde von seiner Universität Urbana, Illinois mit einem Stempel geehrt:

Stempel mit Mersenne-Primzahl


Die Mersenne-Primzahlen stehen in einem engen Zusammenhang mit den vollkommenen Zahlen, die den Griechen der Antike besonders interessant erschienen. Eine natürliche Zahl  k > 1  heißt vollkommen, wenn sie die Summe ihrer Teiler ist. Dabei zählt die  1  als Teiler mit,  k  selbst natürlich nicht. Für den Beweis, der gleich folgt, ist es einfacher, alle Teiler zuzulassen; die Summe der Teiler von  k  muss dann  2k  sein. Die kleinste vollkommene Zahl ist  6 = 1 + 2 + 3 .

Es ist bis heute nicht bekannt, ob es ungerade vollkommene Zahlen gibt; alle, die man kennt, sind gerade. Allerdings sind das nicht sehr viele, nämlich bis heute genau 42. Das ist die gleiche Anzahl wie die der bekannten Mersenne-Primzahlen. Das ist kein Zufall, wie der folgende Satz zeigt:

k  vollkommen und gerade  <-->  k = 2p-1·(2p-1)  mit  2p-1 prim (also Mersenne-Primzahl)

Euklid bewies im 4. Jahrhundert v. Chr. die Richtung von rechts nach links:

Teiler von  k  sind  2i  und  2i·(2p-1)  mit  i = 0 ... p-1 . Ihre Summe beträgt  2p·(1 + 2 + ... + 2p-1) = 2p·(2p-1) = 2k .

k  ist also vollkommen.  k  ist auch gerade, denn sonst wäre  p = 1  und somit  2p-1  nicht prim.

Leonhard Euler bewies mehr als 2000 Jahre danach die Richtung von links nach rechts:

k  ist gerade, also  k = 2b·a  mit einer natürlichen Zahl  b  und einer ungeraden Zahl  a , deren Teiler  a1 ... ar  sein sollen. Teiler von  k  sind dann  2i·aj  mit  i = 0 ... b, j = 1 ... r . Deren Summe ist  (1 + 2 + ... + 2b)·(a1 + ... + ar) = 2k , da  k  vollkommen ist.

Bezeichnet man die Summe der  aj  mit  S , so folgt  (2b+1-1)·S = 2k = 2b+1·a , d.h.  S = 2b+1·a/(2b+1-1) = a + a/(2b+1-1) .

Da  S  die Summe aller Teiler von  a  ist, hat also  a  genau zwei Teiler und ist somit prim. Es folgt  a/(2b+1-1) = 1  und  a = 2b+1-1 . Also ist  a  eine Mersenne-Primzahl und somit ist  b+1  prim. Mit  p = b+1  erhält man  k = 2p-1·(2p-1) .



Eine (unvollständige) Übersicht über Mersenne-Primzahlen und vollkommene Zahlen gibt die folgende Tabelle:


# p mp = 2p - 1
Mersenne-Primzahl
2p-1·(2p - 1)
vollkommene Zahl
1 2 3 6
2 3 7 28
3 5 31 496
4 7 127 8.128
  11    
5 13 8.191 33.550.336
6 17 131.071 8.589.869.056
7 19 524.287 137.438.691.328
  23    
  29    
8 31 2.147.483.647 2.305.843.008.139.952.128
  37    
 
...
 
... ... ...
  13.466.881    
39 13.466.917 4.053.946 Stellen  
... ... ... ...
40 ? 20.996.011 6.320.430 Stellen  
... ... ... ...
41 ? 24.036.583 7.235.733 Stellen  
... ... ... ...
42 ? 25.964.951 7.816.230 Stellen  

Stand 2005-09-05      Aktueller Stand der Suche nach Mersenne-Primzahlen

Die Frage, ob es unendlich viele Mersenne-Primzahlen (und damit unendlich viele gerade vollkommene Zahlen) gibt, gehört zu den ungelösten Problemen der Zahlentheorie.



Der komplette Briefmarkensatz aus Liechtenstein

Das kleine Fürstentum Liechtenstein hat die Mathematik-Briefmarke zusammen mit drei weiteren Wissenschafts-Marken herausgegeben. Auf dem Ersttagsbrief sieht man außerdem Einsteins bekannte Formel  E = mc2  und seine Unterschrift.

FDC Wissenschaftsmarken





Publiziert 2005-09-05          Stand 2005-06-19


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