Manfred Börgens
Mathematik auf Briefmarken  # 69
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Astrolabium von Habermel

Nicaragua 1985   Michel 2624   Scott 1487


Das Astrolabium


Das Astrolabium ist ein mathematisches Instrument zur Messung der Positionen von Gestirnen und zur übersichtlichen Darstellung des Himmels. Es kann auch als Uhr und als Kompass dienen. Die Position der Sonne und einzelner markanter Fixsterne kann sowohl für den aktuellen als auch für einen vergangenen oder zukünftigen Zeitpunkt bestimmt werden.

Auf der Briefmarke ist ein Astrolabium des Erasmus Habermel (ca. 1538 - 1606) abgebildet, der als kaiserlicher Hofinstrumentenmacher in Prag arbeitete und Uhren sowie geodätische und astronomische Geräte anfertigte.

Die Briefmarke kann die Details des Astrolabiums naturgemäß nicht wiedergeben. Das Deutsche Museum, das Instrumente von Erasmus Habermel ausstellt, zeigt ein Bild von der Vorderseite eines seiner Astrolabien. Es gibt auch anders aufgebaute Typen, aber das vom Museum gezeigte ist von einem im späten Mittelalter sehr verbreiteten Typ.

Der historische Ursprung des Astrolabiums liegt etwas im Dunkeln. Es wird angenommen, dass schon Eratosthenes und Hipparchos im vorchristlichen Griechenland das Grundprinzip kannten. Im frühen Mittelalter entwickelten die Araber ein Modell, dass sich insbesondere in der Seefahrt bewährte und das bis zum Habermel'schen Typ nicht mehr wesentlich verändert wurde. Allerdings wurde die handwerkliche Ausführung (meist in Messing) immer weiter präzisiert. Die heute noch vorhandenen Exemplare des späten Mittelalters sind wahre Kunstwerke und weisen mathematisch hochgenaue Gravuren auf. Die wohl früheste ausführliche Gebrauchsanweisung des Astrolabiums im deutschsprachigen Raum schrieb Hermann der Lahme, der seine Kenntnisse vermutlich von Papst Sylvester II. erworben hatte.  -  Die heutzutage vertriebenen kreisrunden "drehbaren Sternkarten" basieren auf dem Prinzip des Astrolabiums.

Astrolabium Syrien    Arabisches Astrolabium   Syrien 1980  Michel 1463  Scott 877

Die Konstruktion des Astrolabiums beweist die hohen mathematischen Kenntnisse seiner Erfinder. Der wesentliche Kern des Gerätes besteht in der stereographischen Projektion des Himmels auf eine Scheibe  -  dies wird weiter unten mathematisch präzisiert. Diese Projektion muss drei verschiedene Darstellungen vereinen: den Fixsternhimmel, die Sonnenbahn und das Koordinatensystem des Himmels aus der Sicht eines irdischen Beobachters.

Auf der Rückseite des Astrolabiums ist ein Winkelmesser (Alidade) mit Peilvorrichtung angebracht, der zur Bestimmung des Höhenwinkels von Sonne und Sternen dient. Außerdem findet man auf der Rückseite Umrechnungstabellen.

Der mathematisch interessante Teil des Astrolabiums ist seine Vorderseite. Auf den ersten Blick sieht sie verwirrend aus (hier noch mal das Bild), mit zahllosen sich kreuzenden feinen Linien auf der Grundplatte (Tympanon) und zwei darauf montierten beweglichen Teilen, der Rete (das ist die eigentliche Sternkarte) und einem Lineal zur besseren Ablesbarkeit (Ostensor).


→  →  →        Wer an schönen und detailreichen Bildern dieser Einzelteile interessiert ist, sollte die Website von Hans-Rudolf Wernli besuchen.


Mathematik des Astrolabiums

Ausgangspunkt ist das geozentrische Modell der "Himmelskugel" mit der Erde im Mittelpunkt (Bild 1).

Himmelskugel
Bild 1


Den Radius der Himmelskugel setzt man der Einfachheit halber gleich  1 . Auf ihr kann man die Positionen der Fixsterne markieren, so wie sie von der Erde aus gesehen werden. Die Ekliptik ist die jährliche Sonnenbahn. Die Breitenkreise am nördlichsten und südlichsten Punkt der Sonnenbahn sind der nördliche bzw. südliche Wendekreis auf der Himmelskugel. Man legt ein kartesisches Koordinatensystem in diese Himmelsdarstellung, dessen  x-y-Ebene die Äquatorebene ist und dessen  z-Achse durch die Pole verläuft; in Bild 1 stehen N und S für den Nord- bzw. Südpol. Wir legen die  x-  und die  y-Achse so, dass der Tiefpunkt der Ekliptik unter der positiven Richtung der  x-Achse liegt (dann ist  y = 0 ). Die Schnittpunkte der Ekliptik mit dem Äquator liegen dann bei  y = ±1  und  x = 0 .

Durch Einführung von Kugelkoordinaten erhält man in diesem Äquatorialsystem ein zweites Koordinatensystem. Die äquatorialen Kugelkoordinaten heißen Breite und Länge und sind analog zum Erdglobus definiert (Bild 2).

δ  [-π/2, π/2] = [-90°, 90°]  Breite (Deklination)
τ  [0, 2π) = [0°, 360°)  Länge

Die Länge ist hier so orientiert, dass sie von Norden gesehen den Äquator im Gegenuhrzeigersinn umläuft, beginnend bei  (x,y,z) = (1,0,0) .

Kugelkoordinaten
Bild 2


Umrechnungsformeln:

(1)  x = cos δ cos τ
     y = cos
 δ sin τ
     z = sin
 δ

Für das Astrolabium wird noch ein weiteres Koordinatensystem benötigt, das Horizontalsystem, das am Beobachter auf der Erde orientiert ist. Der Beobachter sieht nur eine Hälfte der Himmelskugel und gibt die Position von Sonne und Sternen ebenfalls in Breite und Länge an, aber bezogen auf seinen eigenen Horizont. Zur Veranschaulichung legt man das Netz der horizontalen Koordinaten über das in Bild 1 skizzierte Himmelsmodell. Dies sieht man in Bild 3; der dort eingezeichnete Winkel  φ  ist die irdische geographische Breite des Beobachters. Da Astrolabien nur für die nördliche Hemisphäre gebaut wurden, wird hier nur  φ  (0, π/2) = (0°, 90°)  betrachtet.

Zum Verständnis des Astrolabiums ist es wichtig, dass sich äquatoriales und horizontales System gegeneinander verdrehen lassen. Genauer gesagt: Das Horizontalsystem wird festgehalten, während sich im Laufe eines Tages das Äquatorialsystem unter ihm einmal vollständig dreht (um die  z-Achse, siehe Bild 3).

Horizontales Koordinatennetz
Bild 3


Wie liegen äquatoriales und horizontales System in Bild 3 zueinander? Die  y-Achse wurde beihalten und eine Drehung in der  x-z-Ebene durchgeführt. Die neuen Koordinaten sollen  x', y', z'  heißen.

Umrechnung horizontal  →  äquatorial (für die Lage des Horizontes wie in Bild 3):

(2)  x = x' sin φ + z' cos φ
     y = y'
     z = -
 x' cos φ + z' sin φ

Auch im Horizontalsystem geben wir Breite und Länge an:

h  [0, π/2] = [0°, 90°] Breite (Höhe über Horizont)
a  [0, 2π) = [0°, 360°) Länge (Himmelsrichtung)

Die Orientierung der Länge wird analog zum Äquatorialsystem gewählt, was z.B. für den Westpunkt auf dem Horizont  a = /2  und  (x',y',z') = (0,-1,0)  bedeutet.

Die Beibehaltung der  y-Achse ist natürlich willkürlich gewählt, um leichter zur Beschreibung des Astrolabiums zu gelangen.

Umrechnungsformeln:

(3)  x' = cos h cos a
     y' = cos
 h sin a
     z' = sin
 h

Will man aus den Horizontalkoordinaten  h  und  a  die Äquatorialkoordinaten  δ  und  τ  berechnen, so beginnt man mit (1) und setzt dort erst die Umrechnungen aus (2) und dann aus (3) ein. So erhält man:

(4)  sin δ = sin h sin φ - cos h cos a cos φ        →    δ  mit  arcsin  berechnen
     cos τ = (cos h cos a sin φ + sin h cos φ) / cos δ
              a  [0, π]  →  τ  [0, π]  →  τ  mit arccos  berechnen;  a  (π, 2π)  →  τ  (π, 2π)  →  τ  mit   - arccos  berechnen
     oder:  sin τ = (cos h sin a) / cos δ

Die hier gewählte Definition der äquatorialen und der horizontalen Länge weicht von der astronomischen Definition ab; allerdings lassen sich beide Systeme leicht ineinander umrechnen. Die astronomischen Bezeichnungen sind Rektaszension für die äquatoriale und Azimut für die horizontale Länge. Diese wurden hier nicht verwendet, da sie gegenläufig sind: Rektaszension im Gegenuhrzeigersinn, Azimut im Uhrzeigersinn, jeweils von Norden betrachtet.

Die Rektaszension ist gegenüber  δ  um einen rechten Winkel verschoben:

Rektaszension =  - 90°) mod 360°  und  δ = (Rektaszension + 90°) mod 360°

Der Azimut hat die umgekehrte Orientierung zu  a :

Azimut = (360° - a) mod 360°  und  a = (Azimut - 360°) mod 360°



Die stereographische Projektion

Mit Hilfe dieser kartographischen Projektion werden im Astrolabium Äquatorial- und Horizontalsystem in eine Ebene übertragen. Für diese wählen wir die Koordinaten  (xs,ys) . Als Projektionsebene wird meist die Äquatorebene gewählt. Wie in Bild 4 dargestellt, wird ein Punkt  A  auf der Kugeloberfläche durch eine Strecke mit dem Südpol verbunden, die die Projektionsebene im Bildpunkt  A'  schneidet. So kann die ganze Kugel mit Ausnahme des Südpols auf die Ebene abgebildet werden.

Schema stereographische Projektion
Bild 4

A'  wird meist in Polarkoordinaten dargestellt, weil man dann den Winkel  τ  übernehmen kann. Wegen  δ + 90° +  = 180°  ist der Abstand  m  von  (xs,ys) = (0,0) :

(5)  m = tan α = tan(45° - δ/2) = ((1 - sin δ)/(1 + sin δ))1/2 = cos δ / (1 + sin δ)

Für die vorletzte Umformung benutzt man die trigonometrischen Formeln für den halben Winkel und die Spiegelung an  90° . So ergibt sich die stereographische Projektion des Äquatorialsystems auf die Äquatorebene  ((m,τ)  Polarkoordinaten,  (xs,ys)  kartesische Koordinaten):

(6)  (δ,τ)    (m,τ) = (tan(45°- δ/2),τ)    (xs,ys) = (cos τ tan(45°- δ/2), sin τ tan(45°- δ/2))

Die Projektion ist in Bild 5 dargestellt; die verschiedenen Linien haben die gleiche Farbe wie in Bild 1.

Stereographische Projektion
Bild 5

Für die stereographische Projektion des Horizontalsystems auf die Äquatorebene schreibt man zunächst nach (6) und (5):
       xs = cos τ · ((1 - sin δ)/(1 + sin δ))1/2
       ys = sin τ · ((1 - sin δ)/(1 + sin δ))1/2
Die beiden Vorfaktoren werden nach (4) ersetzt und  cos δ  mit Hilfe von  sin δ  geschrieben. Damit erhält man die folgende Umformung:
       xs = (cos h cos a sin φ + sin h cos φ) / (1 + sin δ)
       ys = (cos h sin a) / (1 + sin δ)
Nun wird noch  sin δ  nach (4) ersetzt:

Projektion Horizontalsystem

Die Herstellung von Astrolabien wird durch eine wichtige Eigenschaft der stereographischen Projektion erleichtert: Alle Kreise auf der Kugel werden in der ebenen Projektion wieder zu Kreisen, mit der Ausnahme der Großkreise durch die Pole, die auf Geraden abgebildet werden. Dabei versteht man unter Kugelkreisen alle Schnitte der Kugel mit einer Ebene, also insbesondere alle Großkreise (Geodätische)  -  wie Äquator, Ekliptik, Horizont und Längenkreise sowohl im Äquatorial- wie Horizontalsystem  -  und alle Breitenkreise sowohl im Äquatorial- wie Horizontalsystem. Den Beweis kann man hier nachlesen.


Herstellung des Astrolabiums

Wir werden nur die beiden wesentlichen Bauteile des Astrolabiums betrachten, die Rete und das Tympanon (das sind die mathematisch interessanten). Auf ihnen findet man:

Bei Rete und Tympanon wird die ebene Projektion von "oben" betrachtet, also von einem Punkt nördlich des Himmels-Nordpols.

Der Bau der Rete folgt unmittelbar der Darstellung in Bild 5.  -  Die Gestaltung des Tympanons hängt offenbar von der geographischen Breite  φ  des Beobachters ab. Deshalb gehörte zu jedem Astrolabium ein Satz von mehreren Tympanons, die je nach der Position auf der Erde in das Astrolabium (in die Grundplatte oder Mater) eingesetzt werden konnten. Bild 6 zeigt schematisch ein Tympanon für die geographische Breite  φ = 39°  mit nördlichem Wendekreis (kleiner Kreis), dem halben Äquator und dem Zenit (rechts vom Nordpol) mit den ihn umgebenden Breitenkreisen und den auf ihn zulaufenden Längenkreisen. Man erkennt, dass für niedrige Breiten wesentliche Teile des Horizontes und des sichtbaren südlichen Sternenhimmels abgeschnitten wurden.

Tympanon
Bild 6


In der folgenden Tabelle findet man alle Angaben zur Konstruktion des Astrolabiums. Die Herleitungen stehen unter der Tabelle.
       φ : Breitenkreis des Betrachters
       ε : Ekliptik-Winkel (ca. 23.44°)

    Kartesische Koordinaten  (xs,ys)  in der stereographischen Projektion
Nordpol Mittelpunkt von Tympanon und Rete (0,0)
Zenit Tympanon (tan(45°- φ/2),0)
Äquator Tympanon (und Rete) Kreis um  (0,0)  mit Radius  1
Südlicher Wendekreis Rand von Tympanon und Rete Kreis um  (0,0)  mit Radius  tan(45°+ ε/2) = 1.524
Nördlicher Wendekreis Tympanon Kreis um  (0,0)  mit Radius  cot(45°+ ε/2) = 0.656
Ekliptik mit Datumskala Rete Kreis um  (tan ε,0) = (0.434,0)  mit Radius  1 / cos ε = 1.090

Berechnung der Winkel  τi  für Skala in  k  Teilen:
tan τi = tan bi / cos ε = tan bi / 0.917  mit  bi = 360°·i/k, i = 0,..., k-1
τi  und  bi  in denselben Quadranten, und identisch für  0°, 90°, 180°, 270°   (Bild 7)
Horizont Tympanon Kreis um  (cot φ,0)  mit Radius  1 / sin φ
Breitenkreis im Horizontalsystem Tympanon Konstante Höhe h :
Kreis um  (cos φ / (sin φ + sin h),0)  mit Radius  cos h / (sin φ + sin h)
Längenhalbkreis im Horizontalsystem über den Zenit, aus zwei Längenviertelkreisen Tympanon Konstante Längen  a  (0°, 180°)  und  a + 180° :
Kreis um  (-tan φ , cot a / cos φ)  mit Radius  1 / (sin a cos φ)
Horizontaler (äquatorialer) Großkreis   / 180°  durch den Nordpol (Süd-Nord-Halbkreis) Tympanon (und Rete) xs-Achse
Äquatorialer Großkreis  90° / 270°  durch die Pole (Rete) ys-Achse
Horizontaler Großhalbkreis  90° / 270°  über den Zenit (Ost-West-Halbkreis) Tympanon Kreis um  (-tan φ,0)  mit Radius  1 / cos φ
Fixstern Rete (cos τ tan(45°- δ/2) , sin τ tan(45°- δ/2))


Zur Herleitung der Angaben in der Tabelle verwenden wir die oben angegebenen Umrechnungsformeln. Die Reihenfolge wurde ein wenig verändert, um die Beweise zu vereinfachen.

Nordpol
δ = 90°   →   (xs,ys) = (0,0)  nach (6)

Zenit
h = 90°   →   (xs,ys) = (tan(45°-φ/2), 0)  nach (7)  (Umrechnung wie in (5))

Äquator
δ = 0°, τ  [0°, 360°)   →   m = 1 , (xs,ys) = (cos τ, sin τ)  nach (6)

Südlicher Wendekreis
δ = -ε, τ  [0°, 360°)   →   (xs,ys) = tan(45° + ε/2)·(cos τ, sin τ)  nach (6)

Nördlicher Wendekreis
δ = ε, τ  [0°, 360°)   →   (xs,ys) = tan(45° - ε/2)·(cos τ, sin τ)  nach (6)

Breitenkreis im Horizontalsystem (Kreis mit konstanter Höhe)
Die Projektion eines Breitenkreises der Höhe  h  auf die Äquatorebene ist nach (7) symmetrisch zur  xs-Achse, also benötigt man für Kreismittelpunkt und -radius nur  a =   und  a = 180°  in (7)  (→  ys = 0 ). Für die  xs-Koordinate des Mittelpunkts ergibt sich dann mit Hilfe der Additionstheoreme für  sin  und  cos :
Mittelpunkt proj. Breitenkreis
Den Radius berechnet man auf gleiche Weise, mit der Differenz statt der Summe in der ersten Klammer.

Horizont
Spezialfall ( h = 0 ) eines Breitenkreises im Horizontalsystem (s.o.).

Ekliptik
Geometrisch verhält sich die Ekliptik wie der Horizont (vergleiche Bild 1 und Bild 3). Also muss man bei den Kreisdaten des Horizonts lediglich  φ  durch  90° - ε  ersetzen.
Für die Datums-Skalierung erhält man dann aus (7) mit  h = 0  (zur besseren Unterscheidung wurde  b  statt  a  gewählt):
Projektion Ekliptik
Dort setzt man dann die  bi  ein. - Einfacher ist es allerdings, auf der Rete statt der kartesischen Koordinaten die zugehörigen Winkel  τi  abzutragen:  tan τi = ys/xs = tan bi/cos ε  innerhalb der vier Quadranten; für  xs = 0  oder  ys = 0  sind die  bi = τi  die Vielfachen von  90°.
Setzt man beispielsweise in der Skaleneinteilung  k = 12  (zur Markierung der (gerundeten) Monatslängen, beginnend mit dem Winteranfang), sieht man das Ergebnis wie in Bild 7.

Datumskala
Bild 7


Längenhalbkreis im Horizontalsystem
Die Darstellung in (7) lässt sich für beliebige andere "Kippwinkel"  δ  (0°, 90°)  statt  φ  verwenden. Den zugehörigen Großkreis erhält man (wie bei der Ekliptik) mit  h = 0  (siehe den Schnitt durch die  (x,z)-Ebene in Bild 8). Für das Winkelmaß auf dem "Grundkreis" wählen wir wieder  b  statt  a .

Querschnitt
Bild 8

Die wie in Bild 8 dargestellten Großkreise liegen alle mit ihrem tiefsten Punkt unter der  x-Achse, und ihre senkrecht zur Großkreisebene stehende "Normalachse" bildet mit der  x-Achse den Winkel  δ . Mit (7) ergibt sich für den projizierten Großkreis:
Grosskreis
und  (vgl. Horizont)  Mittelpunkt (cot δ, 0) ,  Radius  1/sin δ.

Für die Längenhalbkreise im Horizontalsystem liegen aber die Normalachsen anders, wie man in Bild 9 sieht:
Grosskreis ueber Horizont
Bild 9

Zunächst berechnen wir mit (4) die äquatorialen Koordinaten für den eingezeichneten Schnittpunkt der Normalachse mit dem Horizont:

(a + 90°, 0)  →  sin δ = - cos(a + 90°) cos φ = sin a cos φ
                 cos &tau = cos(a + 90°) sin φ / cos δ = - sin a sin φ / cos δ
                 sin &tau = sin(a + 90°) / cos δ = cos a / cos δ

Was bedeuten die so berechneten Koordinaten (δ, τ)δ  ist der Kippwinkel, aber gegenüber Bild 8 ist die Projektion des Großhalbkreises (hier: Längenhalbkreis) um  τ  im Gegenuhrzeigersinn gedreht. Aus den Koordinaten unter Bild 8 wird somit:

xs  →  xs cos τ - ys sin τ
ys
 →  xs sin τ + ys cos τ

Also liegt der Mittelpunkt des projizierten Kreises in  (cot δ cos τ, cot δ sin τ) = (- tan φ, cot a /cos φ)  und der Radius bleibt  1/sin δ = 1/sin a cos φ.

Äquatorialer / horizontaler Großkreis   / 180° (Süd-Nord-Halbkreis)
Äquatorial:
Für  τ =   bzw.  τ = 180°  und  δ  (-90°, 90°]  ist nach (6)  xs  R  und  ys = 0 .
Horizontal (nur Großhalbkreis):
Für  a =   bzw.  a = 180°  ist nach (7)  ys = 0 .
Die Endpunkte des projizierten Großhalbkreises auf der  xs-Achse sind:
Halb-Grosskreis
Dies erhält man aus (7), wenn man dort  a =   bzw.  a = 180°  und  h =   einsetzt. (Für  h = 90°  erhält man jeweils die  xs-Koordinate des Zenits.)
Der rechte  xs-Punkt liegt für  φ < 90° - ε = 66.56°  außerhalb des Tympanons. Dies sieht man beim Vergleich der Bilder 1 und 3, da die Projektion des südlichen Wendekreises das Tympanon begrenzt. Man kann das aber auch nachrechnen:  xs  lässt sich schreiben als  (2/(1 - cos φ)-1)1/2 , und für den rechten Rand des Tympanons erhält man mit  δ = - ε  aus (5):  xs = (2/(1 - sin ε)-1)1/2 = (2/(1 - cos (90°-ε))-1)1/2 .

Äquatorialer Großkreis  90° / 270° 
Für  τ = 90°  bzw.  τ = 270°  ist nach (6)  (xs,ys) = (0, ± tan(45°-δ/2))  mit  δ  (-90°, 90°] , also  ys  R .

Horizontaler Großhalbkreis  90° / 270° (Ost-West-Halbkreis)
Spezialfall eines Längenhalbkreises im Horizontalsystem für  a = 90° .

Fixstern
Siehe (6).



Skizzen von Rete und Tympanon

Skizze der Rete

Bild 10

Bild 10 zeigt die wesentlichen Elemente der Rete. Von außen nach innen sind die konzentrischen Kreise für den südlichen Wendekreis, den Himmelsäquator und den nördlichen Wendekreis eingezeichnet. Nach rechts versetzt ist der Kreis für die Ekliptik mit einer Halbmonatsskala (vgl. Bild 7). Eine Rete enthält meist zahlreiche Sterne; hier wurden beispielhaft drei von ihnen eingezeichnet.


Skizze des Tympanons

Bild 11

Bild 11 zeigt die Konstruktion des Tympanons in zwei Schritten. Links sind für  51°  nördlicher Breite Horizont und Zenit über die Wendekreise und den Äquator gelegt worden. Rechts wurden nördlicher Wendekreis und Äquator weggelassen, und je zwei Breitenkreise ( 31°  und  71° ) und Längenkreise ( 61° / 241°  und  79° / 259° , Zählung von Süd über Ost) beispielhaft hinzugefügt. Vervollständigt man die rechte Skizze mit weiteren Breiten- und Längenkreisen und legt man beide Skizzen übereinander, erhält man die Darstellung in Bild 6.


Verwendung des Astrolabiums

1. Darstellung des Himmels für einen konkreten Zeitpunkt (und Kompass-Funktion)
Man markiert (mit dem Ostensor) den gewünschten Tag (z.B. heute) auf der Datumskala der Rete-Ekliptik (siehe Bild 7; die tatsächliche Skala ist natürlich feiner). Diese Markierung entspricht der Position der Sonne auf der Himmelskugel. Die Drehung der Rete (samt Ostensor) um  360°  entspricht einer Drehung des Himmels über dem Betrachter während eines Tages. Für 12 Uhr mittags (Ortszeit) dreht man die Rete, bis die Sonnenposition auf der Ekliptik (und der Ostensor) genau über der positiven Richtung der  xs-Achse steht. Andere Uhrzeiten stellt man am äußeren Rand der Mater ein, und zwar im Uhrzeigersinn: 6 Uhr morgens entspricht der positiven Richtung der  ys-Achse usw. Nun kann man mittels der Breiten- und Längenkreise auf dem Tympanon ablesen, in welcher Höhe über dem Horizont und in welcher Himmelsrichtung die Sonne steht bzw. (bei Nacht) wo die auf der Rete vertretenen Sterne stehen. Damit wird das Astrolabium zu einem Modell des sichtbaren Himmels und kann auch als Kompass dienen.  -  Aber Vorsicht: Man schaut "von oben" auf diese Himmelsprojektion, also gewissermaßen aus der Nordpol-Position.

2. Uhr
Man stellt das Datum wie bei 1. ein und misst dann die Himmelsrichtung oder die Höhe der Sonne bzw. eines Rete-Sterns. Die gemessene Koordinate entspricht einem Kreis(-stück) auf dem Tympanon. Dieses wird durch Drehung der Rete mit Sonnen- bzw. Sternposition zur Deckung gebracht. Dann zeigt der Ostensor am Rand der Mater die Uhrzeit an.

3. Aufgang und Untergang von Sonne und Sternen
Für die Sonne stellt man das Datum wie bei 1. ein und dreht die Rete, bis die Sonnenposition in Deckung mit dem Horizont ist. Dies erlaubt sowohl die Ablesung der Uhrzeit wie bei 2. als auch der Himmelsrichtung, in der die Sonne auf- bzw. untergeht (Längenkreis auf dem Tympanon).
Für die Himmelsrichtung, die ein Stern bei seinem Auf- oder Untergang einnimmt, spielt das Datum keine Rolle. Man dreht die Rete, bis die Sternposition in Deckung mit dem Horizont ist. Auf dem Tympanon liest man dann den Längenkreis ab. Für die Uhrzeit behält man diese Stellung bei und stellt dann auf der Ekliptik das Datum ein. Der Ostensor zeigt am Rand der Mater die Auf- bzw. Untergangszeit an.



Weitere biographische Angaben zu Erasmus Habermel

Zu Kugelkoordinaten siehe auch Briefmarke # 77.


Kategorie: Geomathematik



Publiziert 2009-10-25          Stand 2017-01-07


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