Manfred Börgens
Mathematik auf Briefmarken  # 98
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Ptolemaeus

Burundi 1973   Michel 939   Scott 433a


Claudius Ptolemäus (ca. 90 - ca. 168)
                                      und die EpizykelEpizykel


Claudius Ptolemäus (eigentlicher griechischer Name Klaudios Ptolemaios) war einer der bedeutendsten Gelehrten der Antike. Er arbeitete als Mathematiker, Astronom und Geograph. Ptolemäus war Grieche und lebte im ägyptischen Alexandria. Diese Stadt gehörte zu seinen Lebzeiten zum römischen Weltreich, dessen Bürgerrechte er besaß.

Oben sehen wir vier zusammenhängende Briefmarken, die (innerhalb eines größeren Satzes) Nikolaus Kopernikus zum 500. Geburtstag gewidmet sind (seinen Namen und seine Lebensdaten sieht man unter BURUNDI). Auf der oberen Marke ist Ptolemäus abgebildet (franz. Name Ptolémée rechts neben seinem Kopf). Er wurde in den Kopernikus-Satz aufgenommen, weil er das Vorgänger-Modell, nämlich das geozentrische System, von Kopernikus' Modell, dem heliozentrischen System, beschrieben hat. Im geozentrischen System, das sich schematisiert über alle vier Marken erstreckt, steht die Erde im Zentrum. Mond, Merkur, Venus, Sonne, Mars, Jupiter und Saturn umlaufen (in dieser Anordnung von innen nach außen) die Erde; ihre Bahnen sind auf der linken Marke in Französisch angegeben. Hier sehen wir noch keine Epizykel, von denen später die Rede sein wird. Der äußere Kreis steht für die von den Astronomen der Antike angenommene Kugel, die die Fixsterne trägt. Ein weiteres Detail auf den Marken sind die Sonnenstrahlen, die eine Hälfte der Erde sowie den Mond in den beiden Halbmondstellungen beleuchten.

Das Hauptwerk des Ptolemäus, der 13-bändige Almagest, war ein Kompendium des mathematischen und astronomischen Wissens, das sich in der griechischen Antike entwickelt hatte. Der Almagest diente neben den Elementen des Euklid Jahrhunderte lang als Grundlagenwerk. Der Almagest enthält wohl auch eigenständige Leistungen von Ptolemäus, wie z.B. Tabellen für trigonometrische Rechnungen und eine schöne Konstruktion des regelmäßigen Fünfecks. Besonders bekannt wurde ein geometrischer Lehrsatz über Sehnenvierecke, also Vierecke, deren Ecken alle auf einem Kreis liegen:

Satz von Ptolemäus (Almagest, Buch 1, Kapitel 10)
Ein konvexes Viereck ist genau dann ein Sehnenviereck, wenn die Summe aus den beiden Produkten der Seitenlängen gegenüberliegender Seiten das Produkt der Längen beider Diagonalen ergibt.

Ptolemäus hielt am geozentrischen Modell fest, wie die meisten Gelehrten der Antike. Die Erde stand im Mittelpunkt des Universums. Himmelskörper und ihre Bewegungen mussten Kreise und Kugeln zur Grundlage haben. Aber klarerweise konnten die Planeten die Erde nicht einfach umkreisen (wie auf den Briefmarken vereinfacht dargestellt). Denn bei jedem einzelnen der Planeten wurden Effekte beobachtet, die sich mit gleichmäßig durchlaufenen Kreisbahnen nicht erklären ließen:
    -  verschiedene Geschwindigkeiten relativ zum Fixsternhimmel
    -  abwechselnde Bewegungsrichtungen (Gegenuhrzeigersinn - Uhrzeigersinn)
    -  Helligkeitsschwankungen, also verschiedene Entfernungen zur Erde

Ptolemäus bediente sich des mathematischen Modells der Epizykeltheorie, das bereits von Apollonios von Perge verwendet worden war. Ein Planet bewegt sich danach nicht auf einer Kreisbahn um die Erde, sondern auf einer Kreisbahn (Epizykel) mit einem Mittelpunkt, der sich seinerseits auf einer Kreisbahn (Deferent) um die Erde bewegt; siehe Bild 1.

geozentrisch

Bild 1   Geozentrisches Weltbild: Planetenbahn außen, Erde im Mittelpunkt.


Die mathematische Beschreibung lässt sich als Parameterkurve angeben. Für den großen Kreis (Deferent) in Bild 1 gilt:

(1)  (x,y) = (a1 cos b1t, a1 sin b1t)

x  und  y  sind dabei die kartesischen Koordinaten für die waagerechte bzw. senkrechte Achse in Bild 1.  t  ist der Parameter (die unabhängige Variable), den man hier sowohl als Winkel- als auch als Zeitvariable interpretieren kann.  a1  ist der Radius des großen Kreises. Mit  b1  lässt sich die Geschwindigkeit des Umlaufs (des Mittelpunkts des kleinen Kreises) steuern. Setzt man beispielsweise an, dass ein Jahr einer  t-Intervalllänge von  2π  entsprechen soll, würde  b1 = 0,1  bedeuten, dass einer dieser Umläufe auf dem Deferenten  10  Jahre dauern würde. Die Parameterdarstellung ist so gewählt, dass die Kurve für  t = 0  ihren Startpunkt in  (x,y)=(a1,0) hat und im Gegenuhrzeigersinn durchlaufen wird.

Für den kleinen Kreis (Epizykel) denken wir uns zunächst einen festen Mittelpunkt  (mx,my). Damit erhält man als Parameterdarstellung für den Epizykel (Durchlauf im Gegenuhrzeigersinn):

(2)  (x,y)=(mx - a2 cos b2t, my - a2 sin b2t)

Die Minuszeichen erklären sich daraus, dass wir weiter unten einen bestimmten "Startpunkt" der Planetenbahn (für  t = 0 ) angeben.  a2  und  b2  stehen wieder  -  analog zum großen Kreis  -  für den Kreisradius bzw. den Geschwindigkeitsparameter.

Der Punkt  (mx,my) ist nun aber nicht fest, sondern umläuft die Erde auf dem Deferenten. Also ist

(3)  (mx,my) = (a1 cos b1t, a1 sin b1t)

und damit gilt für die Planetenbahn in Bild 1 insgesamt

(4)  (x,y) = (a1 cos b1t - a2 cos b2t, a1 sin b1t - a2 sin b2t)

Für  t = 0  hat dann die Planetenbahn ihren Startpunkt in  (x,y) = (a1 - a2,0); siehe rechte Skizze in Bild 1. Die Parameterdarstellung wurde also so gewählt, dass für  t = 0  die Entfernung des Planeten von der Erde ihr Minimum annimmt. (Hätte man bei der Parameterdarstellung des Epizykels positive Vorzeichen gewählt, so wäre der Startpunkt in  (x,y) = (a1 + a2,0), also bei der maximalen Entfernung Erde-Planet.)

Die Bewegung eines Planeten auf einer Bahn wie in Bild 1 ist relativ zum Fixsternhimmel zu verstehen. Die hier gewählte Parameterdarstellung setzt also voraus, dass die Position der Fixsterne in diesem Koordinatensystem fest ist. Dies war ein wichtiger Grundsatz der antiken Astronomie.

Für die angegebene Bahnkurve eines Planeten, von der Erde aus gesehen, scheint es keinen allgemein akzeptierten Namen zu geben; wir wollen sie im Folgenden Planetoide nennen.

Ptolemäus (und vor ihm Hipparchos) beließ es nicht bei Deferenten und Epizykeln. Man sollte sich klarmachen, dass der Ausgangspunkt für das Ptolemäische Weltsystem ein Katalog von Positionsmessungen der fünf bekannten Planeten war. Hinzu kamen philosophische Forderungen: Die Erde sollte der Mittelpunkt des Weltalls sein, und alle Bewegungen der Himmelskörper sollten auf Kreisbahnen beruhen. Die Parameter der Epizykeltheorie wurden also, so gut es ging, in Einklang mit den empirischen Daten gebracht. Die Messungen waren immerhin schon so genau, dass Hipparchos und Ptolemäus noch ein weiteres, korrigierendes Element in das geozentrische Modell einführen mussten: Sie rückten die Erde um ein Geringes aus dem Mittelpunkt heraus (Exzentertheorie). In einem Maßstab wie in Bild 1 wäre das allerdings kaum sichtbar. Die dadurch erzielte Übereinstimmung von theoretischen und beobachteten Planetenpositionen war so gut, dass bis zur Formulierung der Kepler'schen Gesetze nicht Besseres (im Sinne der Vorhersage der Positionen) als das Ptolemäische System bekannt war.

Nun sieht diese Beschreibung des Weltbilds des Ptolemäus danach aus, als hätten er und seine Vorgänger ein mathematisches Modell gesucht, das mit den Beobachtungen möglichst gut übereinstimmt. Demnach wäre die Epizykeltheorie etwas willkürlich zustande gekommen und hinterließe ein Gefühl von "Versuch und Irrtum". Aber stimmt das wirklich? Zweifel erscheinen angebracht, wenn man tiefer in die Geschichte der Astronomie zurückgeht. Man stößt auf Aristarch (Aristarchos von Samos), der bereits 400 Jahre vor Ptolemäus ein heliozentrisches Weltbild vertrat. Er nahm also die Sonne als Mittelpunkt des Weltalls an. Die Erde und die Planeten drehen sich in diesem Modell auf Kreisbahnen um die Sonne  -  alle im gleichen Drehsinn  - , umgeben von einer unbewegten Kugel, die die Fixsterne trägt.

Was bedeutet das heliozentrische System für die Bewegung der Planeten, wie sie von der Erde aus beobachtet werden kann? Hier gewinnt man die Erkenntnis, dass die Epizykeltheorie des Ptolemäus vielleicht doch nicht nur durch Ausprobieren mathematischer Modelle und Anpassung an die Beobachtungsdaten entstanden ist. Denn wir werden zeigen: Die Parameterdarstellungen, die wir für die Planetoiden, also die Bahnkurven der Planeten hergeleitet haben, ergeben sich zwingend aus dem heliozentrischen Modell des Aristarch. Somit haben die Planetenbahnen, wie wir sie relativ zum Fixsternhimmel sehen, die gleiche mathematische Beschreibung im geo- wie im heliozentrischen System, solange man von Kreisbahnen ausgeht. Der Unterschied der Systeme liegt darin, dass sich die Planetoiden im heliozentrischen Modell direkt aus der Theorie ergeben, während sie im geozentrischen Modell willkürlich gewählt erscheinen.

Mathematisch betrachtet ist das heliozentrische System also von vergleichsweise großer Einfachheit und Stärke. Ptolemäus muss es als Gelehrter an der großen Universität und Bibliothek in Alexandria gekannt haben. Möglicherweise haben er, und vor ihm Apollonios, es aus philosophischen und traditionellen Gründen abgelehnt, aber erkannt, dass die Planetoiden auch im geozentrischen Modell eine gute Beschreibung für die beobachteten Phänomene darstellen.

Nun aber zur eigentlichen Aufgabe: Es wurde behauptet, dass sich die Planetoiden zwingend aus dem heliozentrischen Modell ergeben. Dazu schauen wir uns Bild 2 an. In der linken Skizze stellt der innere Kreis die Erdbahn da, der äußere Kreis eine Planetenbahn (die folgenden Überlegungen gelten aber unverändert für Planetenbahnen, die innerhalb der Erdbahn verlaufen). Die Punkte auf den Bahnen markieren jeweils eine beliebige Position von Erde und Planet und entsprechen den Vektoren  v  bzw.  u . Von der Erde aus entspricht die Sicht auf den Planeten dem Vektor  w = u - v . Nun lässt sich  u  in Koordinatendarstellung wie in (1) schreiben:

(5)  u = (ux,uy) = (a1 cos b1t, a1 sin b1t)

und  v  entsprechend als

(6)  v = (vx,vy) = (a2 cos b2t, a2 sin b2t)

w = u - v  ist in der rechten Skizze von Bild 2 in das geozentische Modell übertragen; dort ist die Erde im Koordinatenursprung. Wir erhalten

(7)  w = (wx,wy) = (a1 cos b1t - a2 cos b2t, a1 sin b1t - a2 sin b2t)

Diese Darstellung ist mit (4) identisch, beschreibt also eine Planetoide. Nun können wir das Ptolemäische System besser interpretieren: Der Deferent ist die Bahn des Planeten um die Sonne; die Umlaufzeit des Mittelpunkts des Epizykels entspricht der Umlaufzeit des Planeten. Der Radius des Epizykels ist gleich dem Radius der Erdbahn; ein Epizykelumlauf (bezogen auf die Fixsterne) dauert ein Jahr (dies wird uns zu der vereinfachten Darstellung in (8) führen).

Vektoren

Bild 2   Heliozentrisches (li.) und geozentrisches (re.) Modell im Vergleich; Erde innen, Planet außen.


Nun wollen wir die Planetoiden für die fünf in der Antike bekannten Planeten anschauen. Sie entsprechen in etwa den tatsächlichen Verhältnissen, obwohl seit Kepler bekannt ist, dass die Bahnen nicht auf Kreisen, sondern auf Ellipsen verlaufen (Ptolemäus versuchte das, wie bereits erwähnt, durch die Verwendung von Exzentern zu korrigieren, rückte also die Erde etwas aus dem Mittelpunkt heraus). Die Exzentrizitäten der Planeten sind aber nicht so groß, dass sie in einer schematischen Ansicht von Bedeutung wären (am exzentrischsten ist die Merkurbahn, bei der die kleine Halbachse etwa  2/3  der Länge der großen Halbachse hat). Bei den folgenden Graphiken geht es also nur um die Darstellung des wichtigsten Effekts der Planetoiden: Die Planeten ändern (weitgehend periodisch  -  kleinere Bahnanomalien sollen hier nicht berücksichtigt werden) ihren Abstand von der Erde, und in Bezug auf den Fixsternhimmel wechseln die Bewegungen im Gegenuhrzeigersinn und im Uhrzeigersinn (weitgehend periodisch) ab.

Zur Vereinfachung setzen wir den (mittleren) Radius der Erdbahn gleich  1  und setzen ein Periodenintervall für  cos  und  sin  (also  t  [0,2π] )  für ein Jahr an. Die Planetoide erhält dann die Gestalt

(8)  (wx,wy) = (a cos bt - cos t, a sin bt - sin t)

a  ist hier der (mittlere) Radius der Planetenbahn und  1/b  die Umlaufzeit um die Sonne.

Für die drei äußeren Planeten ist in Bild 3 der heliozentrische (links) und geozentrische (rechts) Zustand zu den Zeitpunkten  t1 = 0  (kleinster Abstand Erde-Planet),  t2 = π/2  (ein Vierteljahr später) und  t3 = π  (ein halbes Jahr später) schematisch eingezeichnet (für einen fiktiven Planeten), um die Anfangsstücke der Planetoiden (in den Bildern 4 bis 6) besser verstehen zu können. Die Zahlen in Bild 3 entsprechen den Indizes von  t .

Anfang aeussere

Bild 3   Drei Punkte des Anfangsstücks der Planetoide für einen äußeren Planeten (Erde innen); links heliozentrisch, rechts geozentrisch.


Für die drei äußeren Planeten Saturn, Jupiter und Mars sieht man im Folgenden je drei Skizzen. Links ist der Anfang der Planetoide gezeichnet, in der Mitte die Planetoide nach etwas mehr als einem Planetenumlauf um die Sonne und rechts nach vielen Umläufen. Der Punkt markiert den minimalen Abstand Erde-Planet und steht für  t = 0 . Der zusätzlich eingezeichnete Kreis ist der Deferent.

Saturn

Bild 4   Saturn


Jupiter

Bild 5   Jupiter


Mars

Bild 6   Mars


Für die beiden inneren Planeten ist in Bild 7 der heliozentrische (links) und geozentrische (rechts) Zustand zu den Zeitpunkten  t1 = 0  (kleinster Abstand Erde-Planet),  t2 = π/9  (ca. 3 Wochen später) und  t3 = 2π/9  (ca. 6 Wochen später) schematisch eingezeichnet (für einen fiktiven Planeten), um die Anfangsstücke der Planetoiden (in den Bildern 8 und 9) besser verstehen zu können. Die Zahlen in Bild 7 entsprechen den Indizes von  t .

Anfang innere

Bild 7   Drei Punkte des Anfangsstücks der Planetoide für einen inneren Planeten; links heliozentrisch (Erde außen), rechts geozentrisch (Erde innen).


Für die inneren Planeten Venus und Merkur sieht man im Folgenden je drei Skizzen. Links ist der Anfang der Planetoide nach etwas mehr als einem Planetenumlauf um die Sonne gezeichnet, in der Mitte nach etwa drei Umläufen und rechts nach vielen Umläufen. Der Punkt markiert den minimalen Abstand Erde-Planet und steht für  t = 0 . Der zusätzlich eingezeichnete Kreis ist der Deferent.

Venus

Bild 8   Venus


Merkur

Bild 9   Merkur


Kategorie: Geomathematik


Publiziert 2017-01-31          Stand 2014-08-28


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