Manfred Börgens
Mathematik auf Briefmarken  # 33
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Briefmarke des Monats September 2003

Briefmarke mit Portrait von Archimedes   Griechenland 1983

  Michel 1514
  Scott 1460



Archimedes (287 - 212 v.Chr.)

Einer der bedeutendsten Mathematiker der Antike war Archimedes. Er lebte in Syrakus an der Ostküste Siziliens und hat sehr wahrscheinlich im ägyptischen Alexandria studiert; beide Städte waren griechische Kolonien.

Von Archimedes sind etwa zehn Bücher erhalten, manche nur bruchstückhaft. Er erwarb sich bei seinen Zeitgenossen hohe Achtung durch die Konstruktion verschiedener Maschinen, aber er selbst schätzte die reine Mathematik wesentlich mehr als die Ingenieurwissenschaft. Viele seiner Maschinen beruhten auf dem von ihm formulierten Hebelgesetz, auch etliche der Kriegsmaschinen, die er zur Abwehr der Angriffe der römischen Flotte baute.

Auf der Briefmarke wird das "Archimedische Prinzip" an einem Beispiel dargestellt, das unten noch erklärt wird. Außerdem sitzt Archimedes vor einer geometrischen Skizze.

Von den mathematischen Leistungen des Archimedes ist die Näherungsberechnung von π schon bei der Briefmarke des Monats März 2001 besprochen worden. Noch erstaunlicher sind aber seine Integrationsmethoden zur Berechnung von Flächen- und Rauminhalten und Schwerpunkten, die er fast zwei Jahrtausende vor ihrer umfassenden mathematischen Behandlung durch die Infinitesimalrechnung von Leibniz und Newton gefunden hat. Archimedes kannte schon die Flächeninhalte des Kreises, der Parabelsegmente und der Segmente innerhalb derjenigen Spirale, die später nach ihm die "Archimedische Spirale" genannt wurde. Besonders stolz war er auf die Entdeckung, dass sich das Kugelvolumen zum Volumen eines umhüllenden Zylinders wie 2:3 verhält.

Die von Archimedes angewandte Integrationsmethode ist die Exhaustion, die auch den modernen infinitesimalen Methoden zu Grunde liegt. Ein einfaches Beispiel dafür ist die Flächenberechnung des Kreises mit Hilfe von ein- und umbeschriebenen gleichseitigen n-Ecken, was auf eine Summierung von  n  Dreiecksflächen führt. Bei der "Einschachtelung" des Kreises mit n-Ecken treten Größen auf, die mit wachsendem  n  beliebig klein werden. Archimedes benutzte also Grenzwertmethoden, die erst ca. zwei Jahrtausende später formalisiert wurden. Ein anspruchsvolles Beispiel kann man in Archimedes' eigenen Worten nachlesen: Die Flächenberechnung der Parabelsegmente.


Das Archimedische Prinzip

Auf einen Körper, der ganz oder teilweise in eine Flüssigkeit getaucht wird, wirkt eine Auftriebskraft, die der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit gleich ist.

Auf der Briefmarke sieht man eine Balkenwaage im Gleichgewicht. Am rechten Waagenarm wirken die Wägesteine. Links wirken ein kleiner Wasserbehälter und eine darunter hängende Masse, die ihrerseits in einen großen Wasserbehälter eingetaucht ist (dieser hängt aber nicht am Waagenarm, sondern steht auf einem Tisch). Was bedeutet diese experimentelle Anordnung? Die Waage wäre ebenfalls im Gleichgewicht, wenn links lediglich die Masse angehängt wäre, also beide Wasserbehälter fehlen würden. Denn durch das Eintauchen der Masse verringert sich nach dem Archimedischen Prinzip die Gewichtskraft am linken Waagenarm um die Gewichtskraft des verdrängten Wassers, aber dies wird kompensiert, da das Wasser im kleinen Wasserbehälter von gleichem Volumen ist wie die darunter hängende Masse (das Gewicht des Behälters selbst wird vernachlässigt).

Sehr bekannt ist die Geschichte von Archimedes und der Goldkrone. Sie wird oft mit dem Archimedischen Prinzip in Zusammenhang gebracht, was aber nur teilweise richtig ist. Meistens wird die Geschichte wie folgt erzählt: König Hieron II., der Herrscher von Syrakus, hatte einem Goldschmied ein abgewogenes Stück reinen Goldes zur Anfertigung einer Krone gegeben. Hieron war misstrauisch und bat Archimedes, die fertige Krone daraufhin zu überprüfen, ob sie wirklich aus reinem Gold gefertigt war. Die Gewichtsprüfung brachte keinen Betrug zu Tage, denn die Krone wog exakt soviel wie das Goldstück, das dem Goldschmied übergeben worden war. Der entscheidende Einfall kam Archimedes angeblich, als er ein Bad nahm. Er prüfte, wieviel Wasser von der Krone bzw. von einem gleich schweren Goldstück verdrängt wurde. Die Krone verdrängte mehr, hatte also ein größeres Volumen. Dadurch war bewiesen, dass der Goldschmied in betrügerischer Absicht auch leichteres Metall mit verarbeitet hatte. - Soweit kann man die Geschichte nicht als Illustration des Archimedischen Prinzips auffassen. Es ist aber die Variante denkbar, dass das Gewicht von Krone und Goldstück an den beiden Armen einer Balkenwaage verglichen werden; die Waage ist dann zunächst im Gleichgewicht. Hält man aber unter beide Objekte einen Wasserbehälter und lässt sie ganz eintauchen (ähnlich wie auf der Briefmarke), wird sich nach dem Archimedischen Prinzip die Seite mit dem Goldstück nach unten neigen, da die Krone einen größeren Auftrieb erfährt.


Archimedes-Homepage der Drexel University

Archimedes-Briefmarke mit Wasserschraube
      Diese Marke weist viele Fehler auf, die hier beschrieben werden.

Archimedes mit Zirkel auf Briefmarke (Gemälde von Ribera)

Bilder und Beschreibungen der Archimedischen Körper



Stand 2003-08-17
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