Manfred Börgens
Mathematik auf Briefmarken  # 47
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Briefmarke des Monats Dezember 2004

Marke mit Portrait von Hilbert   Dem. Republik Kongo 2001



David Hilbert (1862 - 1943)

David Hilbert stammte aus Königsberg, studierte dort Mathematik und erhielt 1893 einen Lehrstuhl. Zwei Jahre später wurde er nach Göttingen berufen und blieb dort für den Rest seines Lebens.

Hilberts Einfluss auf die moderne Mathematik war enorm. Er arbeitete auf vielen mathematischen Gebieten (Zahlentheorie, Axiomatisierung der Geometrie, Integralgleichungen, Funktionalanalysis, Variationsrechnung). Sein besonderes Interesse galt der logischen und formalen Absicherung der axiomatischen Grundlagen. Er war weltweit in der Gemeinschaft der Mathematiker als Führungspersönlichkeit anerkannt.

Mit Hilberts Namen sind zahlreiche Begriffe verbunden (MathWorld zählt 26 auf). Drei davon sowie seine berühmte Pariser Rede im Jahr 1900 sollen hier kommentiert werden.


Hilbert-Raum

Ein Hilbert-Raum ist ein reeller oder komplexer Vektorraum mit Skalarprodukt und zugehöriger Norm, der vollständig ist, d.h. alle Cauchy-Folgen sind konvergent. Das Konzept des Hilbert-Raums hat sich sowohl innermathematisch (Funktionalanalysis) als auch in der Physik als sehr fruchtbar erwiesen.


Hilberts Programm

Ein Axiomensystem heißt konsistent, wenn für kein aus den Axiomen herleitbares Theorem auch seine Negation hergeleitet werden kann; es heißt vollständig, wenn sich jeder im System formulierbare Satz entweder beweisen oder widerlegen lässt. "Hilberts Programm" aus den 20er Jahren des vorigen Jahrhunderts sah eine strenge Formalisierung der gesamten Mathematik mit endlich vielen Axiomen vor, mit dem Ziel, Konsistenz und Vollständigkeit der verwendeten Axiomensysteme nachzuweisen. Dieses Programm musste aufgegeben werden, als 1931 Kurt Gödel zeigen konnte, dass jedes konsistente Axiomensystem, das die elementare Arithmetik umfasst, unvollständig ist und seine Konsistenz nicht nachweisen kann.


Hilberts Hotel

Eher kurios (aber nicht paradox, wie oft behauptet) ist "Hilberts Hotel", ein Hotel mit abzählbar unendlich vielen Zimmern, die gemäß der natürlichen Zahlen nummeriert sind. Mathematisch betrachtet dient es einer Anwendung der vollständigen Induktion. Ist das Hotel voll belegt, so kann es dennoch einen weiteren Gast aufnehmen, indem alle bereits eingezogenen Gäste jeweils in das Zimmer mit der nächsthöheren Nummer ziehen und der neue Gast Zimmer Nr. 1  nimmt. Sogar abzählbar unendlich viele neue Gäste können Platz finden, indem jeder bereits eingezogene Gast von seinem Zimmer mit der Nr. n  in das Zimmer mit der Nr. 2n  zieht.


Die 23 Hilbert'schen Probleme

Am 8. August 1900 hielt David Hilbert eine Rede vor dem 2. Internationalen Mathematikerkongress in Paris. Darin stellte er die aus seiner Sicht wichtigsten Probleme für die Mathematik des 20. Jahrhunderts vor. Eine erweiterte Liste, die erst in der Druckversion des Vortrags erschien, enthielt 23 Probleme. Diese wurden bis heute ganz überwiegend gelöst - manche erst nach vielen Jahrzehnten -, aber einige sind immer noch ungelöst.

Hier sollen drei Probleme herausgegriffen und kurz kommentiert werden, zwei gelöste und ein ungelöstes.


Hilberts 7. Problem: Irrationalität und Transzendenz bestimmter Zahlen

Unter den reellen Zahlen heißen diejenigen algebraisch, die Lösungen von Polynomgleichungen einer Variablen mit ganzzahligen Koeffizienten sind. Nicht-algebraische Zahlen heißen transzendent. Rationale Zahlen und  n-te Wurzeln natürlicher Zahlen sind algebraisch, aber  e  und  Pi  sind transzendent.

Ist  a  eine algebraische Zahl und  b  eine rationale Zahl, so ist  ab  algebraisch.

Davon ausgehend, fragte Hilbert:
Ist  ab  irrational oder sogar transzendent für algebraische Zahlen  a  und für irrationale algebraische Zahlen  b ? a  nicht gleich  0  oder  1 )

Das Problem wurde 1934 (unabhängig) von Alexander Gelfond und Theodor Schneider (in seiner Dissertation an der Universität Frankfurt am Main) gelöst; die Antwort bestätigt Hilberts Vermutung:  ab  ist transzendent.

Explizit nannte Hilbert in seiner Rede die Zahl

2 hoch Wurzel 2

deren Transzendenz 1900 noch unbekannt war und erst durch das Resultat von Gelfond und Schneider bewiesen wurde; diese Zahl heißt daher Gelfond-Schneider-Konstante.

Hätte Hilbert sein 7. Problem weiter gefasst und bei  b  die Einschränkung "algebraisch" fortgelassen, so wäre das Problem bis heute ungelöst. Nach dem Ergebnis von Gelfond und Schneider wären dann nur noch transzendente  b  zu betrachten, aber dieser Fall ist noch immer offen. Die Grafik zeigt die Lage für dieses verallgemeinerte 7. Hilbert'sche Problem:

Teilmengen der reellen Zahlen



Hilberts 10. Problem: Entscheidung der Lösbarkeit einer diophantischen Gleichung

Eine diophantische Gleichung ist eine Polynomgleichung mit ganzzahligen Koeffizienten, bei der nur ganzzahlige Lösungen gesucht sind. Ein Beispiel, das viel Publizität erlangt hat, ist  xn + yn = zn  aus der Fermat'schen Vermutung. Für  n = 2  gibt es unendlich viele Lösungen, nämlich die pythagoräischen Tripel; erst 1994 konnte Andrew Wiles beweisen, dass diese diophantische Gleichung für  n > 2  unlösbar ist.

Hilbert fragte:
Gibt es einen endlichen Algorithmus, der feststellt, ob eine diophantische Gleichung lösbar ist?

Yuri Matiyasevich bewies 1970, dass es einen solchen Algorithmus nicht geben kann. Grundlage seines Beweises ist die Beziehung diophantischer Gleichungen zu rekursiv aufzählbaren Teilmengen natürlicher Zahlen. Dies sind Mengen  S , für die ein Algorithmus existiert, der in endlich vielen Schritten die Zugehörigkeit einer natürlichen Zahl zu  S  feststellt - aber nur, wenn die Zahl auch tatsächlich in  S  liegt, d.h. die Feststellung der Nicht-Zugehörigheit zu  S  muss der Algorithmus nicht leisten. Matiyasevich konnte zeigen, dass zu jeder rekursiv aufzählbaren Menge  S  eine diophantische Gleichung  PS(x, y1, ..., yn) = 0  gehört;  m  gehört genau dann zu  S , wenn  PS(m, y1, ..., yn) = 0  lösbar ist. Nun gibt es aber rekursiv aufzählbare Mengen, deren Komplement nicht rekursiv aufzählbar ist, d.h. es gibt keinen Algorithmus, der von jeder beliebigen natürlichen Zahl in endlich vielen Schritten feststellt, ob sie in der Menge liegt oder nicht. Für die abschließende Argumentation nennt man eine dieser Mengen  K . Wenn es einen endlichen Algorithmus für die Lösbarkeit diophantischer Gleichungen gäbe, so müsste dieser auch auf  PK(m, y1, ..., yn) = 0  anwendbar sein - damit ließe sich also für jedes  m  feststellen, ob es zu  K  gehört oder nicht. Dies ist aber ein Widerspruch zur Definition von  K . Also gibt es keinen endlichen Algorithmus für die Lösbarkeit diophantischer Gleichungen.


Hilberts 8. Problem: Primzahlenprobleme

Als Kernproblem stellte Hilbert die Riemann'sche Vermutung heraus: Die nicht-trivialen Nullstellen der Zeta-Funktion haben den Realteil  1/2 .

Die Zeta-Funktion ist eine komplexe Funktion, die für  Re(z) > 1  durch eine Reihe definiert ist:

Zeta(z) = Summe 1/(n hoch z)

Diese Funktion hat eine analytische Fortsetzung auf  C \ {1} . Es gibt eine Darstellung für den gesamten Definitionsbereich, die aber etwas umständlich ist:

Zeta(z) als Reihe

Der Zusammenhang mit Primzahlen wird deutlich durch die folgende Produktdarstellung:

Zeta(z) = 1/(Produkt ueber alle p prim: 1-(p hoch -z))

Einige Funktionswerte sind:

Zeta(0)=-1/2, Zeta(-1)=-1/12, Zeta(2)=(Pi hoch 2)/6

Die Zeta-Funktion hat Nullstellen in  z = -2n  mit natürlichen Zahlen  n , diese Nullstellen heißen "trivial". Alle anderen bisher gefundenen Nullstellen haben die Gestalt  1/2 + i·y . Die Riemann'sche Vermutung besagt, dass dies generell für alle nicht-trivialen Nullstellen der Zeta-Funktion gilt.

Die Riemann'sche Vermutung gilt als unbewiesen. Allerdings liegt seit kurzem eine Publikation von Louis de Branges de Bourcia vor, in der ein Beweis enthalten sein soll; eine Prüfung durch Fachkollegen steht noch aus.

Hilbert führte weitere Primzahlenprobleme an, u.a. die Goldbach'sche Vermutung, dass jede gerade Zahl größer als  2  die Summe von zwei Primzahlen ist, und die Frage, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Auch diese Probleme sind bis heute ungelöst.



Links zu weiteren Briefmarken des Monats:

Fermat'sche Vermutung
Goldbach'sche Vermutung
Zum Problem der Entscheidbarkeit: Alan Turing


Stand 2005-01-26
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