Manfred Börgens
Mathematische Probleme  # 52
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Wie multipliziert man, ohne das Einmaleins zu können ?


Mein geschätzter Kollege Prof. Orlowski hat mir eine alte und pfiffige Methode des Multiplizierens gezeigt:

149  ×  24
 74     48
 37     96
 18    192
  9    384
  4    768
  2   1536
  1   3072
      ----
      3576


In dem Beispiel wurde  149·24 = 3576  berechnet. Wie wurde das gemacht? In der linken Spalte wurde der Faktor  149  fortlaufend halbiert, wobei der Rest bei der Halbierung ungerader Zahlen einfach weggelassen wurde. In der rechten Spalte wurde der zweite Faktor  24  fortlaufend verdoppelt. Nun addiert man von den Zahlen in der rechten Spalte diejenigen, die neben einer ungeraden Zahl stehen, und erhält das gesuchte Produkt  3576 .

Zeilen, die nicht in die Addition eingehen, wurden in Rot geschrieben. Wenn man handschriftlich rechnet, wird man diese Zeilen einfach durchstreichen.

Hätte man die Faktoren vertauscht, würde die Rechnung noch kürzer:

24 ×  149
12    298
 6    596
 3   1192
 1   2384
     ----
     3576


Diese Methode ist auf den ersten Blick verblüffend. Man muss dafür nur Verdoppeln, Halbieren und Addieren können, während man für die übliche schriftliche Multiplikation das Einmaleins beherrschen muss. Es ist interessant, sich den mathematischen Hintergrund für das gezeigte Verfahren klar zu machen.

Wie funktioniert diese Methode ?


Anwendung der Methode auf römische Zahlen

DELPHI-Programm   Autoren: Dipl.-Ing. B. Ziegler (Code und Design), Prof. P. Orlowski (Idee), beide Fachhochschule Gießen-Friedberg, Copyright bei den Autoren





Lösung



Wir werden das Verfahren eingehend analysieren, aber der mathematische Kern dieser Multiplikationsmethode soll vorab angegeben werden:

Zwei Techniken werden hier zusammengeführt: Die linke Spalte dient der Umwandlung des ersten Faktors in eine Dualzahl  -  wobei die schwarzen Zahlen für die Einsen und die roten Zahlen für die Nullen stehen  - , in der rechten Spalte wird der zweite Faktor mit der Dualzahl multipliziert.

Das Ergebnis  3576  in der Beispielrechnung kommt offenbar zustande, indem der zweite Faktor  24  (wegen der fortgesetzten Verdopplung) mit einer Reihe von Zweierpotenzen multipliziert wird:

149  ×  24     1·24 = 20·24    1
 74     48                     0
 37     96     4·24 = 22·24    1
 18    192                     0
  9    384    16·24 = 24·24    1
  4    768                     0
  2   1536                     0
  1   3072   128·24 = 27·24    1
      ----  ---------------
      3576  (20+22+24+27)·24


In der Tat zeigt die Probe, dass  20 + 22 + 24 + 27 = 149 . Spätestens hier vermutet man, dass das Rechenverfahren mit dem dualen Zahlensystem zu tun hat. Die Summe der Zweierpotenzen lässt sich einfacher als Dualzahl  100101012  schreiben (bei Dualzahlen fügen wir die Basis  2  als Index an, um Verwechslungen mit Dezimalzahlen zu vermeiden). Diese Dualzahl wurde ganz rechts mitgeführt und ist von unten nach oben zu lesen. In der zweiten Spalte wurde also wie folgt gerechnet:

100101012·24 = 149·24

Also muss in der linken Spalte der Grund dafür liegen, dass diese (richtige) Dualzahl gewählt wurde. Schwarze (ungerade) Zahlen in der linken Spalte korrespondieren offenbar mit einer  1  in der dualen Darstellung, rote (gerade) Zahlen mit einer  0 . Das fortgesetzte Halbieren mit Abrunden erzeugt also die richtige Dualzahl, indem den ungeraden Zwischenergebnissen eine  1  und den geraden eine  0  zugeordnet wird. Warum ist das so?

Der Kürze halber soll "Halbieren mit Abrunden" durch "Rundhalbieren" ersetzt werden. Was bedeutet Rundhalbieren bei Dualzahlen? Ganz einfach: Die letzte Stelle wird gestrichen. Denn beim Halbieren wird  2n  zu  2n-1 , also rücken alle Stellen eins nach rechts; eine eventuelle  1  an letzter Stelle fällt der Rundung zum Opfer. Wir schauen uns die duale Darstellung der linken Spalte an:

100101012 = 149     24     1·24 = 20·24    1
10010102  =  74     48                     0
1001012   =  37     96     4·24 = 22·24    1
100102    =  18    192                     0
10012     =   9    384    16·24 = 24·24    1
1002      =   4    768                     0
102       =   2   1536                     0
12        =   1   3072   128·24 = 27·24    1
                  ----  ---------------
                  3576  (20+22+24+27)·24


Wegen der sukzessiven Ziffernstreichung von hinten ergeben die letzten Ziffern der Dualzahlen wieder die ursprüngliche Dualzahl. Der entscheidende Punkt ist, dass man durch fortgesetztes Rundhalbieren die duale Darstellung des ersten Faktors erhält, denn rundhalbierte gerade Zahlen haben eine  0  am Ende der zugehörigen Dualzahl, gerade eine  1 .

Was bis hierhin gezeigt wurde, soll in formalisierter Form zusammengefasst werden:

m  sei eine natürliche Zahl; ihre duale Darstellung sei  d  mit  r  Ziffern.

dn  sei die  2n-Stelle von  d , d.h. die  (n+1)-te Stelle von hinten ( n = 0,1,...,r-1 ).

mn  entstehe aus  m  durch  n-maliges Rundhalbieren.

Dann ist  dn = 0 , falls  mn  gerade, und  dn = 1 , falls  mn  ungerade.

Da alle positiven Dualzahlen links mit einer  1  beginnen, endet das Verfahren mit  mr-1 = dr-1 = 1 .

Mit diesen Bezeichnungen lässt sich das Verfahren systematisch so darstellen:

 mn        dn
149   ->   1   ->   1·20   ->   1·24 =   24
 74   ->   0   ->   0·21
 37   ->   1   ->   1·22   ->   4·24 =   96
 18   ->   0   ->   0·23
  9   ->   1   ->   1·24   ->  16·24 =  384
  4   ->   0   ->   0·25
  2   ->   0   ->   0·26
  1   ->   1   ->   1·27   -> 128·24 = 3072
    ---------  ----------              ----
    100101012  20+22+24+27              3576
       (=149)       (=149)         (=149·24)




Wenn Sie diese hübsche Multiplikationsmethode beherrschen, sind Sie auf dem richtigen ...

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Kategorie: Zahlen und Zahlsysteme, Berechnung von π



Publiziert 2005-10-02          Stand 2005-10-28


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