Manfred Börgens
Mathematische Probleme  # 79
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Gleichteilung des gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecks


Das folgende Dreieck ist ein diagonal halbiertes Quadrat der Seitenlänge  1 :

Dreieck 01

Es soll durch einen geraden Schnitt in zwei flächengleiche Teile zerlegt werden. Beide Teile haben dann den Flächeninhalt  1/4 :

Dreieck 02

Wir suchen nun den kürzesten Schnitt. Dafür gibt es naheliegende Lösungsversuche, wie z.B. die symmetrische Teilung (Bild 3) oder seitenparallele Teilungen (Bilder 4 und 5) :

Dreiecke 03, 04, 05

Die Teilung aus Bild 5 scheidet also aus. Wir haben zwei Teilungen mit einer Schnittlänge von  √(1/2) ≈ 0.7071  gefunden (Bilder 3 und 4).


Gibt es eine kürzere Teilung ?




Lösung



Die Schnittlinie hat entweder einen Fußpunkt auf der Hypothenuse (Bild 6) oder nicht (Bild 7).

Dreiecke 06, 07


Im ersten Fall (Bild 6) ist der Flächeninhalt des rechts abgeschnittenen Dreiecks :

A = (ab cos 45°)/2 = ab √2 / 4

Da  A = 1/4  gelten soll, gilt

b = 1 /(a √2)

Für die Schnittlänge  x  gilt nach dem Cosinussatz :

x2 = a2 + b2 - 2ab cos 45° = a2 + 1 /(2a2) - 1

x  soll durch geeignete Wahl von  a  minimiert werden. Zur Vereinfachung minimieren wir  m = x2 + 1  und setzen  c = a2 .

m = c + 1/(2c)

m' = 1 - 1/(2c2) = 0  für  c2 = 1/2

m'' = 1/c3 > 0 

Wir erhalten also ein relatives Minimum für  x  mit

a = 4√(1/2)  und  b = a

Dann ist

x = √(√2 - 1)  0.6436

Wir haben also einen kürzeren Schnitt als in den Bildern 3 und 4 gefunden.


Nun zum zweiten Fall (Bild 7). Für den Flächeninhalt des links abgeschnittenen Dreicks soll  ab/2 = 1/4  gelten, also

b = 1/(2a)  und  x2 = a2 + b2 = a2 + 1/(4a2)

Ähnlich wie im ersten Fall minimieren wir  m = x2  und setzen  c = a2 .

m = c + 1/(4c)

m' = 1 - 1/(4c2) = 0  für  c = 1/2

m'' = 1/(2c3) > 0

Wir erhalten also ein relatives Minimum für  x  mit

a = √(1/2)  und  b = a 

Dann ist  x = 1 ; es liegt also der Fall aus Bild 5 vor. Wir haben keinen kürzeren Schnitt als im ersten Fall gefunden.


Wir fassen zusammen :

Die kürzeste Schnittlinie zur Gleichteilung des rechtwinkligen Dreiecks mit Kathetenlänge  1  hat die Länge  √(√2 - 1) 0.6436 . Die Teilung trennt - ausgehend von einem der spitzen Winkel - ein gleichschenkliges Dreieck ab, dessen andere Seiten die Länge  4√(1/2) 0.8409  haben. Loesung




Publiziert 2012-06-09          Stand 2011-05-23


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