Manfred Börgens
Mathematische Probleme  # 81
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Sphärische Triangulation

Teil 1



Geodätische Linien auf der Kugeloberfläche, hier kurz als Geodäten bezeichnet, sind Abschnitte von Großkreisen (d.h. Umfangslinien) der Kugel. Zwei Punkte der Kugeloberfläche werden durch eine Geodäte auf kürzestem Weg verbunden (sogar eindeutig, wenn die Punkte keine Antipoden sind). Ein Kugeldreieck oder sphärisches Dreieck ist ein Teil der Kugeloberfläche, der von drei Geodäten begrenzt wird. Mit Kugeldreiecken befasst sich die sphärische Trigonometrie (Formelsammlung).

Wir wollen im Folgenden immer vom Kugelradius  1  ausgehen. Wie in der ebenen Geometrie dienen die Seitenlängen und die Winkel von Kugeldreiecken als die wesentlichen Bestimmungsgrößen. Bei den grundlegenden Berechnungsformeln für Seiten, Winkel und Flächen von Kugeldreiecken stößt man aber schnell auf (teilweise überraschende) Abweichungen von den entsprechenden Formeln für ebene Dreiecke. Beispielsweise haben Kugeldreiecke unterschiedliche Winkelsummen ( > 180°). Noch interessanter ist, dass sich die Dreiecksfläche nur aus den Winkeln berechnen lässt, also ohne Kenntnis der Seitenlängen.

Dreieck 01
Bild 1

Man sieht in Bild 1, dass sich die Seitenlängen  abc  auch als Winkel (am Kugelmittelpunkt) angeben lassen.

Eine Triangulation ist eine Zerlegung einer Fläche in Dreiecke. Ist diese Fläche die Oberfläche einer Kugel, so spricht man von einer sphärischen Triangulation.

Das kann man auch allgemeiner betrachten, indem man statt der Dreiecke beliebige Polygone zulässt. Einen Teil der Kugeloberfläche, der von Geodäten begrenzt wird, nennt man ein sphärisches Polygon. Eine Zerlegung der Kugeloberfläche in sphärische Polygone heißt sphärisches Polyeder. Offenbar gehört zu jedem normalen Polyeder, dessen sämtliche Ecken auf der Umkugel liegen, ein sphärisches Polyeder, denn statt der geraden Kanten kann man die zugehörigen Geodäten auf der Kugeloberfläche abtragen. Wir wollen im Folgenden nur auf diese Weise gebildete sphärische Polyeder betrachten (d.h. wir lassen z.B. keine Zweiecke zu, die es auf der Kugel gibt, aber bei gewöhnlichen Polyedern nicht). Links in Bild 2 ist ein Polyeder dargestellt, das sich auch leicht als sphärisches Polyeder vorstellen lässt, wenn man es zu einer vollen Kugel "aufbläst". Für solche sphärischen Polyeder gilt dann natürlich auch der Euler'sche Polyedersatz für die Anzahl der Flächen ( F ), der Ecken ( E ) und der Kanten ( K ) :

F + E = K + 2

Polyeder
Bild 2

Rechts in Bild 2 sieht man ein Kugel-Deltaeder, also ein Polyeder nur aus Dreiecken, dessen Ecken alle auf der Umkugel liegen, und das zugehörige sphärische Deltaeder lässt sich wieder leicht vorstellen, indem man die Kanten durch geodätische Linien ersetzt. Um solche Gebilde geht es also hier bei diesem Problem. Die sphärische Triangulation führt auf sphärische Deltaeder; von diesen wollen wir einige besonders einfache näher untersuchen.

Bei der gewählten Terminologie muss angemerkt werden, dass Deltaeder üblicherweise Polyeder aus gleichseitigen Dreiecken bezeichnen. Diese Forderung soll hier entfallen, wenn "Kugel-" oder "sphärisches" vorangestellt wird.

Hier kommt die erste Aufgabe.


Der Deltaedersatz hat eine interessante Folgerung, denn er schränkt die Anzahl  F  der Dreiecke erheblich ein.


Viele Bilder von geodätischen Kuppeln (diese werden weiter unten noch genauer betrachtet) erwecken den Eindruck, dass es möglich ist, eine sphärische Triangulation aus zahlreichen identischen gleichseitigen Dreiecken zu bilden. Man schaue sich z.B. das folgende Foto einer Kuppel an (von dieser Kuppel ist nur noch eine Kugelkappe sichtbar, die weniger als eine Halbkugel umschließt); daneben ist eine halbkugelförmige Kuppel mit geringerer Maschendichte schematisch dargestellt.

Geodaetische Kuppeln

Bild 3
Links Amundsen Scott Dome der University of Antarctica


Erst bei genauerem Hinsehen erkennt man, dass in Bild 3 an den meisten Ecken sechs Dreiecke zusammenstoßen, aber an einigen nur fünf. Also können bei den zugehörigen Kugeldreiecken nicht alle Winkel identisch sein.

Wir befassen uns zunächst mit der regulären sphärischen Triangulation. Dabei sind alle Dreiecke gleichseitig und kongruent. Ihre Anzahl ist  F ; an jeder Ecke sollen  n  Dreiecke zusammentreffen.  F  und  n  können zur Bestimmung der Flächeninhalte der Dreiecke herangezogen werden.


Eine feinere Triangulation erreicht man, indem die Kugeldreiecke aus der regulären sphärischen Triangulation in kleinere Dreiecke geteilt werden. Dadurch entstehen nicht-reguläre sphärische Triangulationen von hoher Symmetrie. Den einfachsten Fall, nämlich die Vervierfachung der Dreiecksanzahl, wollen wir hier berechnen. Man verbindet in jedem Dreieck die Seitenmittelpunkte durch Geodätische (Bild 4).

Teilung des Kugeldreiecks

Bild 4

In Bild 4 hat das Ausgangsdreieck die Seitenlänge  a  und den Winkel  α .

Für jedes Deltaeder aus den regulären sphärischen Triangulationen erhält man so ein neues sphärisches Deltaeder mit kleineren (aber nicht-kongruenten) sphärischen Dreiecken. Diese Triangulationen wollen wir wegen der Vervierfachung Tetra-Triangulationen nennen.


Anfangs wurde schon erklärt, dass Polyeder, deren Ecken auf einer Kugeloberfläche liegen, auf ein sphärisches Polyeder führen. Für die hier betrachteten sphärischen Deltaeder gilt offenbar auch die Umkehrung. Indem man benachbarte Ecken durch gerade Strecken verbindet, erhält man ein normales Kugel-Deltaeder. Damit ist die erste der beiden folgenden Fragen ganz einfach.


Die bereits erwähnten geodätischen Kuppeln sind zu sphärischen Polyedern gehörige normale Polyeder, in der Regel mit sehr vielen Flächen. (Für ein Polyeder ist die Bezeichnung geodätisch erklärungsbedürftig: Sie bezieht sich darauf, dass alle Ecken auf einer Kugeloberfläche liegen). In der Architektur ersetzt man die (geodätischen) Kanten der sphärischen Polygone (meist Dreiecke) durch Stangen. Je mehr Dreiecke zur Bildung des Polyeders verwendet werden, desto ähnlicher wird die geodätische Kuppel einer Kugel. Natürlich wird meist nicht die volle "Kugel" errichtet, sondern nur eine "Halbkugel", so dass auch der Name "Kuppel" verständlicher wird. Die Dreiecke werden in der Regel verglast. Solche Bauwerke bestechen durch ihre Ästhetik und eine sehr große Stabilität bei geringem Eigengewicht (siehe Bild 3 links).


Richard Buckminster Fuller hat die geodätischen Kuppeln in die Architektur eingeführt. Hier ist eine Briefmarke mit seinem Porträt:

Marke mit Buckminster Fuller

Bild 5



Links zu geodätischen Kuppeln:

Website von Werner Brefeld - unverzichtbar für Mathematik-Ästheten
       Leitseite          direkt zu den Kuppeln

Wikipedia deutsch
Wikipedia englisch




Lösung




Jede Fläche hat  3  Kanten, aber an jeder Kante treffen  2  Flächen zusammen; somit ist  K = 3·F/2 . Setzt man das in den Euler'schen Polyedersatz  F + E = K + 2  ein, erhält man zusammengefasst:

(1)    K = (3/2)·F      E = F/2 + 2

Aus (1) folgt, dass  F  gerade sein muss. Das ist ein wichtiges Ergebnis: Kugel-Deltaeder mit einer ungeraden Anzahl von Dreiecken gibt es nicht.

Kommen alle Kugel-Deltaeder mit gerader Seitenzahl  F  4  vor? Und kann man sie so konstruieren, dass alle Ecken auf der Umkugel liegen, so dass sie auf eine sphärische Triangulation führen? Es lassen sich in der Tat einfache Beispiele dafür angeben:

Für  F = 4  wählen wir das reguläre Tetraeder. Für gerade  F  mit  F > 4  stellt man sich die Umkugel wie einen Globus vor und legt zwei Ecken auf die Pole. Nach (1) verbleiben  F/2  Ecken, die man alle auf dem Äquator verteilt. Der so konstruierte Körper besteht also aus zwei Pyramiden, deren Basen  F/2-Ecke sind und aufeinandergesetzt werden, und deren Seitenflächen je  F/2  Dreiecke sind, die in einem der Pole die Spitze der Pyramide bilden.

Das kann man direkt mit einfachen Mitteln der sphärischen Geometrie beantworten (Formelsammlung), ohne auf Platonische Körper zurückzugreifen (was natürlich auch erlaubt ist). Sei  F  die Anzahl der Dreiecke und  n  die Anzahl der Kanten, die an einer Ecke zusammentreffen. Dann lässt sich der Flächeninhalt  A  eines Dreiecks sowohl mit  F  als auch mit  n  berechnen. Die Oberfläche der Einheitskugel beträgt   , also ist

A = 4π/F

Andererseits errechnet sich  A  bei jedem Kugeldreieck aus der Winkelsumme abzüglich  π . Hier ist jeder Winkel gleich  2π/n . Somit ist

A = 3·(2π/n) - π

Da  F  und  n  natürliche Zahlen mit  n > 2  sind, erhält man

4/F = 6/n - 1    ⇒    (F,n) = (4,3)  oder  (F,n) = (8,4)  oder  (F,n) = (20,5)

Den drei Paaren  (F,n) = (4,3)  (sphärisches Tetraeder)(F,n) = (8,4)  (sphärisches Oktaeder)(F,n) = (20,5) (sphärisches Ikosaeder) entsprechen offensichtlich die Deltaeder unter den Platonischen Körpern.

F = 8  ist von geographischem Interesse. Legt man eine der sechs Ecken in den Nordpol, erhält man ein sphärisches Oktaeder, das beide Hemisphären in je vier gleiche Kugeldreiecke aufteilt. Jedes dieser Dreiecke hat zwei Ecken auf dem Äquator und eine Ecke an einem Pol. Die Dreiecke haben drei  90°-Winkel. An den beiden Polen (und an vier Punkten des Äquators) treffen je  n = 4  Dreiecke zusammen. Bild 6 zeigt links ein sphärisches Oktaeder (rote Linien als Kanten) mit einbeschriebenem gewöhnlichen Oktaeder und rechts eines der Dreiecke auf dem Erdglobus (die Ecken auf dem Äquator liegen in Ecuador auf 80° westlicher Länge und in Gabun auf 10° östlicher Länge).

Globus

Bild 6

Da die drei möglichen Werte für  F  jetzt bekannt sind, lässt sich zunächst die Anzahl  E  der Ecken und die Anzahl  K  der Kanten mit dem Deltaedersatz (1) leicht angeben (siehe Tabelle 1).

Die Oberfläche der Einheitskugel hat den Flächeninhalt  4·π . Die Dreiecke haben also den Flächeninhalt  A = 4·π/F .

Die Winkel sind einfach zu berechnen:  α = 2·π/n .
(Im Text werden ab hier alle Winkel und Längen im Bogenmaß angegeben. In den Tabellen 1 und 2 werden diese Werte wegen der besseren Anschaulichkeit in das Gradmaß umgerechnet.)

Für die Seitenlängen zieht man eine Formel der sphärischen Trigonometrie heran. Mit den Bezeichnungen von Bild 1 gilt:

(2)    cos α = - cos β·cos γ + sin β·sin γ·cos a

       ⇒   cos α = - cos2α + (1 - cos2α)·cos a

       ⇒   cos α + cos2α = (1 + cos α)·(1 - cos α)·cos a

(3)    ⇒   cos a = cos α /(1 - cos α)

(Gleichung (3) lässt sich auch einfach als  sec α = 1 + sec a  ausdrücken.)

Damit erhält man die Werte in Tabelle 1.


Erste Loesungstabelle

Tabelle 1


Die drei entstehenden sphärischen Polyeder sollen wegen der Vierteilung jedes Dreiecks sphärisches Tetra-Tetraeder, Tetra-Oktaeder und Tetra-Ikosaeder heißen (siehe Tabelle 2).

Wir schauen uns nochmal Bild 4 an:

Teilung des Kugeldreiecks

Bild 4

Mit  Falt  bzw.  Fneu  bezeichnen wir die Anzahl der Flächen bei der regulären Triangulation (Tabelle 1) bzw. bei der Tetra-Triangulation (Tabelle 2). Offenbar ist  Fneu = 4·Falt . Die Anzahl der Ecken erhöht sich in jedem der Dreiecke um  3 , aber je zwei Dreiecke teilen sich eine dieser neuen Ecken (siehe Bild 4). Wir erhalten  Eneu = Ealt + Falt·(3/2) . Aus den  3  Kanten in einem ursprünglichen Dreieck werden bei der Tetra-Triangulation  9  Kanten;  6  davon (Länge  a/2 ) grenzen aber an zwei Flächen an. Also ist  Kneu = 6·Falt .

Fneu, Eneu, Kneu  stehen in Tabelle 2 unter  F, E  bzw.  K .  -  Mit  Fneu = 4·Falt  und (1) kommt man natürlich noch schneller ans Ziel.

Die Anzahl der entstehenden gleichseitigen Dreiecke (Seitenlänge  b  in Bild 4) ist gleich  Falt  (siehe Tabelle 2, 3. Spalte "Anz."). Die Anzahl der entstehenden nicht-gleichseitigen Dreiecke (Seitenlängen  a/2  und  b  in Bild 4) ist gleich  3·Falt  (siehe Tabelle 2, 7. Spalte "Anz."). In der Summe ergibt sich  Fneu  (2. Spalte).

Wir widmen uns nun der Berechnung des Winkels  γ  in Bild 4. Wenn man in (2) Winkel und Seiten zyklisch vertauscht, erhält man mit den Bezeichnungen aus Bild 1:

(4)    cos γ = - cos α·cos β + sin α·sin β·cos c

       Das soll nun auf das obere Dreieck in Bild 4 angewendet werden. Dann ist in (4)  β = γ  und  c = a/2 .

       ⇒   cos γ = - cos α·cos γ + sin α·sin γ·cos a/2

       ⇒   1 = - cos α + sin α·tan γ·cos a/2

(5)    ⇒   tan γ = (1 + cos α) /(sin α·cos a/2)

Mit (5) berechnet man die Werte für  γ  in Tabelle 2  ( α  und  a  entnimmt man Tabelle 1).

Nun sind die nächsten drei Schritte einfach. Den Winkel  β  bestimmt man aus  2·γ + β = π . Da die "Mitteldreiecke" in Bild 4 gleichseitig sind, lässt sich  b  analog zu (3) mit  β  berechnen. Die Flächeninhalte der Dreiecke sind wieder aus der Winkelsumme abzüglich  π  zu ermitteln. Zusammengefasst ergibt das für Tabelle 2:

β = π - 2·γ

cos b = cos β /(1 - cos β)

A = 3·β - π  (gleichseitige Dreiecke)
A = α + 2·γ - π  (nicht-gleichseitige Dreiecke)

In Bild 4 lassen sich zwei Arten von Ecken unterscheiden:
Die drei äußeren sind die Ecken im ursprünglichen sphärischen Deltaeder (Winkel  α ), also treffen dort  3, 4  bzw.  5  Kanten zusammen. Die Anzahl dieser Ecken ist folglich  Ealt  (siehe Tabelle 1 und die vorletzte Spalte in Tabelle 2).
Die restlichen Ecken entstehen durch die Seitenhalbierung in Bild 4, dort treffen  6  Kanten zusammen und bilden  4  Winkel  γ  und  2  Winkel  β  (drittletzte Spalte in Tabelle 2).

In Bild 4 zählt man (pro Dreieck im ursprünglichen sphärischen Deltaeder)  3  Kanten der Länge  b  und  6  Kanten der Länge  a/2 . Letztere gehören aber jeweils zu  2  solchen Dreiecken. Somit gibt es bei allen Tetra-Triangulationen je zur Hälfte Kanten der Länge  a/2  und  b  (Tabelle 2, letzte Spalte).


Zweite Loesungstabelle
Tabelle 2


Anders als vielleicht von Bild 4 zu erwarten gewesen wäre, unterscheiden sich nach Tabelle 2 die beiden Dreiecksarten zumindest beim sphärischen Tetra-Tetraeder und -Oktaeder in der Größe erheblich.


Wir wollen das Ergebnis für das sphärische Tetra-Ikosaeder zusammenfassen.

Die Kugeloberfläche wird in  80  Dreiecke zerlegt, davon sind  20  gleichseitig und  60  gleichschenklig. Die  60  längeren Kanten sind etwa  1,13-mal so lang wie die  60  kürzeren Kanten.

Das sphärische Tetra-Ikosaeder hat  42  Ecken. An  30  Ecken treffen  6  Dreiecke zusammen (davon  2  gleichseitige, einander gegenüberliegende), an  12  Ecken treffen  5  nicht-gleichseitige Dreiecke zusammen (das sind die  12  Ecken des ursprünglichen Ikosaeders).

Bild 7 vermittelt einen Eindruck vom Aufbau eines sphärischen Tetra-Ikosaeders.
Aus der Konstruktion erkennt man, dass geodätische Kuppeln nicht immer mit geraden Stangen hergestellt werden, sondern manchmal auch mit Geodätischen als Kantenelementen, also aufwändiger und die Bezeichnung geodätische Kuppel voll rechtfertigend.


Sphaerisches Tetra-Ikosaeder

Bild 7

Einem regulären sphärischen Polyeder aus Dreiecken entspricht  -  durch Verbindung der Ecken durch gerade Strecken  -  ein normales reguläres Deltaeder, also  -  wie schon erwähnt  -  ein platonischer Körper. Es kommen somit nur Tetraeder, Oktaeder und Ikosaeder in Frage (siehe Bild 8). Die Umkehrung gilt auch: Die Ecken dieser platonischen Körper liegen auf einer Kugeloberfläche. Verbindet man die Ecken durch Geodätische auf der Kugel statt durch Strecken, erhält man die einzigen drei sphärischen Triangulationen mit identischen gleichseitigen sphärischen Dreiecken.

3 Platonische Koerper
Bild 8

Die Kanten von Tetraeder, Oktaeder bzw. Ikosaeder bilden Sehnen im Einheitskreis (Kugelquerschnitt durch Kante und Mittelpunkt). Die zugehörigen Winkel entsprechen den Werten für  a  in Tabelle 1. Daraus errechnen sich die Sehnenlängen als  2·sin a/2 .

Für die geodätischen Kuppeln (die man dann Tetra-Tetraeder, Tetra-Oktaeder und Tetra-Ikosaeder nennt), macht man das Gleiche für Winkel mit den Werten  a/2  und  b .

Die Kantenlängen entnimmt man Tabelle 3.

Kantenlaengen Polyeder

Tabelle 3

Geodätische Kuppeln, die als Gebäude genutzt werden, haben meist viel mehr Flächen als die hier betrachteten Polyeder. Allenfalls kommt das Tetra-Ikosaeder mit  80  Flächen in Frage (Bild 9; die grünen Dreiecke sind die gleichseitigen; die Mittelpunkte der großen weißen Fünfecke sind die ursprünglichen Ikosaederecken; Bild 7 zeigt die zugehörige sphärische Variante).

Tetra-Ikosaeder
Bild 9

Die Angaben, die oben im Kasten für das sphärische Tetra-Ikosaeder gemacht wurden, gelten auch hier. Der Unterschied zwischen den gleichseitigen und gleichschenkligen Dreiecken ist wegen des Faktors  1,13  für die Seitenlängen nicht allzu augenfällig; auch dass an  12  Ecken nur  5  Kanten zusammentreffen, fällt kaum auf (siehe Bild 9). Für die Konstruktion benötigt man nur zwei verschiedene Stangenlängen.  -  Dennoch wirken die geodätischen Kuppeln mit mehr Flächen gleichmäßiger konstruiert. Ein gängiges Verfahren ist die Aufteilung der Ikosaederflächen in mehr als  4  Dreiecke (siehe Bild 3). Dafür gibt es mehrere Ansätze; es wird angestrebt, dass nicht zuviele verschiedene Stangenlängen benötigt werden.


Kategorie: Geomathematik


Publiziert 2013-01-04          Stand 2011-10-03


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