Manfred Börgens
Mathematische Probleme  # 82
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Sphärische Triangulation

Teil 2



In Teil 1 (Problem 81) wurden die drei Deltaeder unter den Platonischen Körpern betrachtet. Sie lieferten die Grundlage für die einzigen regulären sphärischen Triangulationen. Drei weitere sphärische Triangulationen ergaben sich aus der Aufteilung aller sphärischen Dreiecke in vier kleinere Dreiecke. Auf diese Weise wurde das sphärische Tetra-Tetraeder, das sphärische Tetra-Oktaeder und das sphärische Tetra-Ikosaeder gebildet. Nur das letzte  -  mit 80 Seiten  -  hat Ähnlichkeit mit den in der Architektur vorkommenden geodätischen Kuppeln. Das sind (möglichst regelmäßige) Polyeder, deren Ecken alle auf der Umkugel liegen. Ihnen entsprechen sphärische Polyeder  -  man muss dazu lediglich die geraden Kanten durch die zugehörigen Geodätischen auf der Umkugel ersetzen. In diesem Sinne sind das Tetra-Ikosaeder und das sphärische Tetra-Ikosaeder aus Problem 81 äquivalent.

Nun soll ein weiteres sphärisches Deltaeder gebildet werden. Der zugrundeliegende Platonische Körper ist hier das Dodekaeder (Bild 1).

Dodekaeder
Bild 1

Wie kommt man vom Dodekaeder zu einer sphärischen Triangulation? Naheliegend ist, in einem ersten Schritt jedes der zwölf Fünfecke in fünf gleichschenklige Dreiecke aufzuteilen, deren Basis eine Dodekaederkante ist und die als dritte Ecke den Mittelpunkt des Fünfecks haben. Diese Mittelpunkte werden dann auf die Umkugel projiziert. Wir erhalten so ein Kugel-Deltaeder (siehe Teil 1), das wir Penta-Dodekaeder nennen wollen (Bild 2).

Penta-Dodekaeder
Bild 2

Das zugehörige sphärische Polyeder erhält man wieder durch Ersetzung der Kanten durch Geodätische. Dieses sphärische Penta-Dodekaeder hätte man auch erhalten, wenn man das sphärische Dodekaeder als Ausgangskörper gewählt hätte und dort die Mittelpunkte der sphärischen Fünfecke mit den Dodekaederecken durch Geodätische verbunden hätte (dann entfällt die Projektion).

Penta-Dodekaeder und sphärisches Penta-Dodekaeder zeichnen sich durch Eigenschaften aus, die man beispielsweise beim Tetra-Ikosaeder nicht findet:


Es gibt aber eine Gemeinsamkeit zwischen Tetra-Ikosaeder und Penta-Dodekaeder. Beide sind Kugel-Deltaeder, an deren Ecken  5  oder  6  Kanten zusammentreffen. Diese Eigenschaft findet man bei den meisten geodätischen Kuppeln in der Architektur (dort werden allerdings meist nicht die vollständigen Polyeder errichtet, sondern nur Strukturen, die einer Halbkugel oder einer Kugelkappe ähnlich sind; siehe die Bilder in Problem 81).

Das führt auf die erste Aufgabe:
Nun soll die sphärische Triangulation und die zugehörige geodätische Kuppel wie in Problem 81 analysiert werden. Wir gehen wieder vom Kugelradius  1  aus.



Lösung




Die gesuchten Anzahlen wollen wir mit  E5  und  E6  bezeichnen. Nach dem Deltaedersatz aus Problem 81 gilt:

K = (3/2)·F      E = E5 + E6 = F/2 + 2

Von jeder 5er-Ecke gehen  5  Kanten aus. Jeder Kante gehört aber gleichzeitig zu einer anderen Ecke. Das gilt entsprechend für die 6er-Ecken. Damit muss gelten:

(5/2)·E5 + (6/2)·E6 = K = (3/2)·F
⇒  5·E5
 + 6·(E - E5) = 3·F
⇒  5·E5
 + 6·(F/2 + 2 - E5) = 3·F

Die Antwort auf die erste Frage lautet also:

E5 = 12
E6 = E
 - 12 = F/2 - 10


Das ist ein interessantes Ergebnis!

Aus  F = 60  folgt:  E = 32  K = 90


Wir beginnen mit den Winkeln: In den "5er-Ecken" bzw. in den "6er-Ecken" sind alle Winkel gleich groß, also gleich  2π/5 = 72°  bzw.  2π/6 = 60° . Jedes Dreieck hat somit zwei Winkel von  60°  und einen von  72°  (Bild 3).

Für die Seitenlängen verwenden wir die Formel (2) aus Problem 81. Dort liegt die Seite  a  dem Winkel  α  gegenüber. In der zweiten Zeile ist  cos a  freigestellt worden:

cos α = - cos β·cos γ + sin β·sin γ·cos a
cos a = (cos α + cos β·cos γ) / (sin β·sin γ)

Ist  a  die Basis des gleichschenkligen Dreiecks, so ist  α = 72°  und  β = γ = 60° . Damit erhalten wir  a  0,7297  41,81° .

Ist  a  eine der beiden anderen Seiten, so ist  α = β = 60°  und  γ = 72° . Damit erhalten wir  a  0,6524  37,38°  (Bild 3).

Winkel und Seiten

Bild 3

Die Dreiecksfläche  A  beträgt  1/60  der Kugeloberfläche, also  4π/60 = π/15 .  A  ergibt sich auch als Winkelsumme abzüglich  π , also  2π/5 + 2π/6 + 2π/6 - π = π/15 .


Dazu müssen nur noch die Ergebnisse der ersten und dritten Frage zusammengefasst werden:

Das (sphärische) Penta-Dodekaeder hat  12  Ecken, an denen  5  Kanten im Winkel von  72°  zusammentreffen, und  20  Ecken, an denen  6  Kanten im Winkel von  60°  zusammentreffen.


Wie in Problem 81 berechnet man für ein Bogenstück  a  einer Geodätischen auf der Einheitskugel die zugehörige Sehne zu  2·sin a/2 .

Für  a  wurden bereits die Werte  a  0,7297  bzw.  a  0,6524  angegeben.

Die Stangenlängen der geodätischen Kuppel betragen also ca.  0,7136  und  0,6409 .

Die kürzeren Stangen sind im Verhältnis zu den längeren um etwa  10 %  kürzer, was ausreichend gering ist, um der Kuppel ein harmonisches Gesamtbild zu geben (Bild 2).




Publiziert 2013-04-08          Stand 2011-10-03


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