Manfred Börgens
Mathematische Probleme  # 83
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Sphärische Triangulation

Teil 3



In den beiden ersten Teilen der "Sphärischen Triangulation" wurden sowohl sphärische Deltaeder als auch die zugehörigen normalen Kugel-Deltaeder, wie sie beim Bau Geodätischer Kuppeln vorkommen, untersucht. Sowohl das Penta-Dodekaeder als auch das Tetra-Ikosaeder weisen in recht guter Näherung Kugelgestalt auf.

Es soll darauf hingewiesen werden, dass hier  -  wie auch in den Problemen 81 und 82  -  spezielle Deltaeder untersucht werden, deren Kanten nicht gleich lang sein müssen und deren Ecken sämtlich auf der Umkugel liegen. Der Grund dafür liegt in der ursprünglichen Problemstellung der sphärischen Triangulation, als deren Weiterführung die Betrachtung der Geodätischen Kuppeln naheliegend erscheint.


Penta-Dodekaeder und Tetra-Ikosaeder

Bild 1       Penta-Dodekaeder und Tetra-Ikosaeder


In der Literatur findet man das Penta-Dodekaeder unter dem Namen Pentakisdodekaeder, siehe [1]; dieses sollte nicht verwechselt werden mit dem Pentagondodekaeder, welches lediglich eine andere Bezeichnung für das Dodekaeder ist. Üblicherweise wird von Deltaedern gefordert, dass sie nur aus gleichseitigen Dreiecken bestehen (dann gibt es nur endlich viele, siehe [2]); dies gilt in den hier vorgelegten drei Problemen zur sphärischen Triangulation nicht.

Unter den Platonischen Körpern füllt das Dodekaeder die Umkugel am besten aus, also insbesondere zu einem höheren Anteil als das Ikosaeder, obwohl dieses mehr Flächen aufweist. Also liegt es nahe, dass wir für Penta-Dodekaeder und Tetra-Ikosaeder ebenfalls das Volumen berechnen und vergleichen.

Die Ausfüllung der Umkugel durch ein Kugel-Deltaeder ist eine naheliegende Frage für die Erbauer Geodätischer Kuppeln. Aber für eine möglichst gute "Kugelgestalt" lassen sich auch andere Kriterien heranziehen. Wir wollen hier drei Kriterien betrachten:


v1 , v2 , v3  wollen wir zuerst für die beiden Platonischen Körper berechnen. In den meisten Formelsammlungen werden die Maße der Platonischen Körper in Abhängigkeit von der Kantenlänge angegeben. Hier  -  wie auch in den Problemen 81 und 82  -  wird für den Radius der Umkugel  r = 1  vorgegeben. Die erste Aufgabe wird es also sein, mit Hilfe der Formelsammlungen (von denen zahlreiche im Internet verfügbar sind) die folgenden Werte anzugeben.

(*)  Dabei sollen möglichst einfache Formeln gefunden werden, die keine Wurzeln im Nenner aufweisen.

Für Dodekaeder und Ikosaeder mit  r = 1  sind zu berechnen:
Die Ergebnisse erlauben einen Vergleich dieser beiden Platonischen Körper bzgl. ihrer Kugelgestalt. Lässt sich das auf die Geodätischen Kuppeln Penta-Dodekaeder und Tetra-Ikosaeder übertragen? Die Konstrukteure Geodätischer Kuppeln werden sich dabei vor allem dafür interessieren, wieviel Platz unter ihrer Kuppel ist (v1), und wie "kugelförmig" sie wirkt (vund v3).

Wir beginnen mit einer Methode, die ein Koordinatensystem einbezieht und die Volumen und Oberfläche beider Körper berechnen hilft. Der Mittelpunkt der Umkugel der Kugel-Deltaeder soll in den kartesischen (x,y,z)-Koordinaten im Ursprung liegen. Eine beliebige Fläche eines Kugel-Deltaeders ist dann ein Dreieck mit den Ecken  B, C, D  mit  B =(b1,b2,b3)  usw. Dessen Flächeninhalt findet man in Formelsammlungen zur analytischen Geometrie:

(1)    Flächeninhalt des Dreiecks  BCD: AΔ = ||(B-D)×(C-D)||/2

Über die Summierung dieser Dreiecksflächen erhält man die Oberflächen von Penta-Dodekaeder und Tetra-Ikosaeder.

Das Volumen der beiden Kugel-Deltaeder ist die Summe der Volumina der (unregelmäßigen) Tetraeder mit diesen Dreiecken als Grundflächen und der Spitze im Ursprung. Die Formel dafür findet man leicht:

(2)    Volumen des Tetraeders  OBCD: VΔ = |(B×C)·D|/6

In (1) und (2) bezeichnet  ||·||  die Norm,  |·|  den Betrag,  ×  das Kreuzprodukt und  ·  das Skalarprodukt von Vektoren.

Also bleibt noch die Berechnung der Koordinaten von  B, C, D . Beim Penta-Dodekaeder sind alle Dreiecke kongruent, also ist nur ein  AΔ  bzw.  VΔ  zu berechnen. Beim Tetra-Ikosaeder gibt es zwei verschiedene Dreiecke.

Wir legen das Dodekaeder so in das Koordinatensystem, dass eine Fläche (Fünfeck) parallel zur (x,y)-Ebene liegt, also alle Ecken des Fünfecks bei  z = ri (Inkugelradius) liegen.  ri kann der Formelsammlung für die Platonischen Körper entnommen werden, sollte aber wie in (*) dargestellt werden. Dann sind  B  und  C  zwei Ecken des Fünfecks und  D = (0,0,1). Die  x-  und  y-Koordinaten von  B  und  C  sind leicht anzugeben, wenn man beachtet, dass  B  und  C  auf einem Kreis liegen und ihr Winkelabstand auf diesem Kreis  72°  beträgt. Die Darstellung der Koordinaten wird besonders einfach, wenn man z.B.  B  so legt, dass  y = 0  ist. Das Ikosaeder legen wir ebenfalls so, dass eine Fläche (Dreieck  BCD ) bei  z = ri (Inkugelradius) liegt. Die  x-  und  y-Koordinaten von  B, C  und  D  berechnet man analog zum Dodekaeder. Dieses Dreieck wird nun in vier kleinere Dreiecke geteilt; zur Erinnerung wird hier nochmal ein Ausschnitt des sphärischen Tetra-Ikosaeders aus Problem 81 (um die Eckpunkte ergänzt) gezeigt:

Vierteilung Dreieck

Bild 2


Bei den Punkten  BoC  usw. ist zu beachten, dass die Seitenmitten im Dreieck  BCD  auf die Kugeloberfläche projiziert werden müssen. Dann kann man wie beim Penta-Dodekaeder mit (1) die Flächeninhalte des mittleren Dreiecks und eines der Randdreiecke (z.B. mit den Ecken  B, BoC, DoB ) berechnen, sowie die zugehörigen Volumina der Tetraeder mit (2).

1. Bemerkung: Beim Penta-Dodekaeder kann man auch ohne die Koordinaten-Rechnung auskommen, indem man rein geometrisch argumentiert. Denn das Penta-Dodekaeder entsteht, indem jedem Fünfeck des Dodekaeders eine regelmäßige Pyramide aufgesetzt wird, und deren Maße sind leicht zu berechnen. Alle Ergebnisse sollen wieder (*) genügen. Dies kann als Zusatzaufgabe durchgeführt werden.

2. Bemerkung: In den Problemen 81 und 82 wurden auch die Längen der "Stangen" in den Geodätischen Kuppeln berechnet, also u.a. die Kantenlängen von Penta-Dodekaeder und Tetra-Ikosaeder. Dies ist ein weiterer Weg, um direkt zu einem numerischen Wert für die Oberfläche der Kugel-Deltaeder zu gelangen. Man kann dies als Probe für die bereits erhaltenen Ergebnisse rechnen.



Quellen

[1]  Werner Brefeld: Geodätische Kuppeln
[2]  Jürgen Köller: Deltaeder



Lösung



Publiziert 2013-05-14          Stand 2012-04-11


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