Manfred Börgens
Mathematische Probleme  # 93
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Hilberts Hotel und die Handtücher


Hilberts Hotel ist ein unter Mathematikern gut bekanntes Haus. Es hat abzählbar unendlich viele Zimmer, nummeriert mit den natürlichen Zahlen  1, 2, 3, ...

David Hilbert hat dieses Hotel konstruiert, um besondere Eigenschaften nicht-endlicher Mengen zu demonstrieren. Ist beispielsweise das Hotel voll belegt, so kann ein neuer Gast dennoch aufgenommen werden, indem alle anderen Gäste ein Zimmer aufrücken, also von Zimmer  n  nach Zimmer  n+1  umziehen, und so Zimmer  1  für den neuen Gast freimachen. Ganz ähnlich verfährt man, wenn mehrere, aber endlich viele neue Gäste erscheinen. Aber auch die Ankunft eines Reisebusses mit abzählbar unendlich vielen neuen Gästen bringt die Rezeption des voll belegten Hotels nicht in Verlegenheit. Die bereits eingecheckten Gäste ziehen jeweils von ihrem Zimmer mit der Nummer  n  ins Zimmer  2n  um und machen alle Zimmer mit ungeraden Nummern frei, also unendlich viele.

Hier kommt eine neue Episode über Hilberts Hotel.

Im Winter hatte das Hotel wegen Renovierung geschlossen und öffnet wieder zu Ostern. Die Nachfrage ist sehr groß; das Hotel ist für lange Zeit ausgebucht. Die Zimmer mit den Nummern  1  bis  1000  sind für Langzeitgäste reserviert (dort gibt es die beste Aussicht). Das sind Gäste, die mindestens ein Jahr bleiben. Die Beliebtheit von Hilberts Hotel zeigt sich auch darin, dass diese Zimmer nie leer stehen. Im Gegenteil: Viele Langzeitgäste müssen mit höheren Zimmernummern vorliebnehmen.

Nun muss erklärt werden, wie das Hotel mit dem Handtuchwechsel verfährt. Es gibt nur blaue und gelbe Handtücher. Jedes Zimmer behält seine Handtuchfarbe vom Einzug der Zimmergäste bis zu deren Auszug. Dann aber wird die Handtuchfarbe für die nächsten Gäste in diesem Zimmer getauscht, um zu verhindern, dass irrtümlich alte Handtücher weiterverwendet werden. Bei der Neueröffnung zu Ostern erhalten alle Zimmer blaue Handtücher.

Hilberts Hotel erweist sich als so beliebt wie seit eh und je. Schon am nächsten Abend nach der Neueröffnung steht wieder ein Bus mit abzählbar unendlich vielen Gästen vor der Tür. Kein Problem: Man wendet Hilberts Vorgehensweise an; alle schon eingecheckten Gäste ziehen von Zimmer  n  nach Zimmer  2n  um und machen die Zimmer mit ungeraden Nummern frei. In die Zimmer  1, 3, 5, ... ,997, 999  ziehen natürlich wieder neue Langzeitgäste ein.

Am nächsten Tag spricht der Junior-Manager den Manager an. "Heute Abend kommen schon wieder neue Gäste. Wir mussten gestern in allen Zimmern die Handtuchfarbe wechseln. Auf Dauer ist das ziemlich viel Aufwand."  -  "Klar, aber was können wir tun?"  -  "Ich hätte da eine Idee: Wir lassen nur die Gäste mit den geraden Zimmernummern aufrücken, also  2  4, 4  8  usw. Dann kommen alle neuen Gäste unter, auch wenn wieder abzählbar unendlich viele kommen. Und wir müssen nur in der Hälfte der Zimmer die Handtuchfarbe wechseln."  -  "Gute Idee, so machen wir's."

Da sich abzeichnet, dass jeden Abend ein Bus mit abzählbar unendlich vielen Gästen ankommt, denkt der Junior-Manager auch am folgenden Tag, also nach der dritten Nacht, weiter nach. Er sorgt dafür, dass am Abend nur noch die Gäste in den Zimmern mit den durch  3  teilbaren Nummern umziehen müssen, also  3  6, 6  12  usw. Es werden die Zimmer  3, 9, 15  usw. für die neuen Gäste frei, und der Handtuch-Farbwechsel hat sich auf ein Drittel reduziert (glaubt zumindest das Management - man kann das vielleicht anzweifeln, da ja immer noch unendlich viele Farbwechsel nötig sind).

Da die Idee des Junior-Managers Anklang findet und für mehr Ruhe im Hotel sorgt, weitet das Management von Abend zu Abend das Verfahren aus: Am Abend nach der  m-ten Nacht werden wieder abzählbar unendlich viele neue Gäste erwartet; man lässt die Gäste in den Zimmern mit durch  m  teilbaren Nummern schon nachmittags zur doppelten Zimmernummer aufrücken, tauscht die Handtuchfarben in diesen Zimmern und kann abends alle neuen Gäste aufnehmen.

Nach  100  Nächten inspiziert der Hoteldirektor C. Antor sein Hotel, und zwar gegen Abend, kurz bevor die neuen (natürlich wieder abzählbar unendlich vielen) Gäste eintreffen. In welchen Zimmern mit den Nummern  1  bis  100  findet er blaue Handtücher?

Die Lösung lässt sich durch Ausprobieren herausfinden. Aber wie kann man das Problem verallgemeinern (also unabhängig machen von der Zahl  100) ?  Wie lässt sich die allgemeine Lösung beweisen?



Lösung



Publiziert 2015-11-30          Stand 2014-07-20


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