Manfred Börgens
Mathematische Probleme  # 94
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Die Globoule des Nikolaus von Kues


Nikolaus von Kues (lat. Nicolaus Cusanus) (1401 - 1464) wird auf der gleichzeitig erscheinenden Seite mit der Briefmarke # 94 vorgestellt. Er hat sich das Spiel  Ludus Globi  (Spiel der (Welt-)Kugel)  ausgedacht, das in erster Linie ein Geschicklichkeitsspiel ist, aber auch meditativ-religiösen Charakter hat. Dabei wird ähnlich wie beim französischen Boule eine Kugel so geworfen, dass sie möglichst nahe an einen Zielpunkt rollt. Dieser Zielpunkt liegt beim Ludus Globi in einem großen runden Spielfeld, ähnlich einer Zielscheibe. Ein wesentlicher Unterschied zum Boule-Spiel ist, dass die Spielkugel (meist aus Holz) eine große Delle hat, die eine geradlinige Bahn beim Rollen weitgehend verhindert.

Seit einigen Jahren kann man das Spiel wieder kaufen. Man findet es unter dem Namen Globoule. Thomas Jahre hat auf der Website des Chemnitzer Schulmodells eine "Aufgabe der Woche" gestellt (Aufgabe # 411), in der auch die Spielkugel als Globoule bezeichnet wird. Das ist ein ausgezeichneter Name für die eingedellte Kugel, der auch hier im Folgenden verwendet werden soll.

Wir definieren die Globoule als eine Kugel  K1 , der die Schnittmenge mit einer anderen Kugel  K2 fehlt. Die Schnittmenge besteht aus einem Kugelabschnitt  A1 von  K1 mit Höhe  h1 und einem Kugelabschnitt  A2 von  K2 mit Höhe  h2 ; die beiden Abschnitte haben dieselbe kreisförmige Grundfläche mit Radius  a  (siehe Bild 1). Außerdem wird gefordert:

(1)   A1 ist kleiner als die Hälfte von  K1 .

(2)   A2 ist maximal eine Halbkugel.

Querschnitt
Bild 1

Also bleibt von der Oberfläche von  K1 mehr als die Hälfte stehen, und die "Eindellung" im Restkörper ist maximal halbkugelförmig (oder "flacher").

In der Skizze wurde der Radius von  K1 zu  r1 = 3  gewählt und der Radius von  K2 zu  r2 = 3.5 . Die Kugelmittelpunkte haben einen Abstand von  4  Einheiten, so dass die Radien sich zu  h = h1 + h2 = 2.5  überlappen. Der Einfachheit halber wurden die Mittelpunkte im Querschnitt auf (0,0) und (4,0) gelegt.

Im nächsten Bild sieht man eine Globoule, wie sie im Handel erhältlich ist. Sie hat nicht die gleichen Maße wie in Bild 1 (auch die Globoule aus Thomas Jahres Aufgabe der Woche 411 hat andere Maße, wie wir noch sehen werden).

Foto Globoule

Globoule

Bei den nun folgenden Aufgaben stelle man sich vor, dass die Radien bekannt sind und die Überlappung der Kugeln durch die Länge  h  entlang der Gerade durch die Mittelpunkte der Kugeln festgelegt wird.


Aufgabe 1

Berechnen Sie  h1, h2, a  aus  r1, r2, h .

r1  und  r2  seien vorgegeben. Welche Werte kann  h  annehmen?


Aufgabe 2

r1, r2  und  h  seien vorgegeben. Berechnen Sie das Volumen und den Schwerpunkt der Globoule.


Das muss man nicht von Hand machen. Die Verwendung eines CAS ist hier angebracht.


Aufgabe 3

Nun zum Problem, das Thomas Jahre gestellt hat. Bei seiner Globoule ist die Eindellung  A2 eine Halbkugel, die genau bis zum Mittelpunkt von  K1 reicht.

Thomas Jahre macht das Problem dadurch attraktiv, dass er einen einfachen Spezialfall der Aufgaben 1 und 2 präsentiert, bei dem alle Maße der beiden Kugeln nur von  r1 abhängen.

Berechnen Sie alle Maßzahlen dieser Globoule in Abhängigkeit von  r1 , auch das Volumen  V  und den Schwerpunkt  xs .


Aufgabe 4

Wenn man eine Globoule mit unbekannten Maßen vorgelegt bekommt, so kann man relativ einfach den Durchmesser  2r1 , sowie  h1 als Differenz von  2r1 und der Höhe der Globoule messen. Etwas schwieriger ist die Messung von  h2 als Tiefe der Delle. Bei meiner Globoule (siehe Foto oben) ist  r1 = 3 cm, h1 = 1.2 cm  und  h2 = 1.35 cm .

Bestimmen Sie aus  r1, h1 und  h2 den Radius  r2 . Was ergibt sich für die Globoule auf dem Foto? Berechnen Sie auch  V  und  xs .



Lösung



Aufgabe 1

Berechnen Sie  h1, h2, a  aus  r1, r2, h .

r1  und  r2  seien vorgegeben. Welche Werte kann  h  annehmen?


Vorab die offensichtlichen Einschränkungen für  h  (siehe Bild 1):

(3)   h < 2ri      2ri  sind die Kugeldurchmesser

(4)   h1 < r1      wegen (1)

(5)   h2  r2      wegen (2)

h  muss nun so gewählt werden, dass (4) und (5) erfüllt sind. Dazu wollen wir  hi  mit Hilfe von Bild 1 bestimmen:

a2 = r12 - (r1 - h1)2      mit (4)

a2 = r22 - (r2 - h2)2 = r22 - (r2 - h + h1)2      mit (5)

Wir setzen die rechten Seiten gleich und lösen nach  h1  auf:

(6)   h1 = h(r2 - h/2) / (r1 + r2 - h)         h2 = h - h1 = h(r1 - h/2) / (r1 + r2 - h)

         a = (2rihi - hi2)1/2


Damit sind  h1 , h2  und  a  bestimmt. Nun zum erlaubten Bereich für  h . Die erste Bedingung (4) ist wegen (6) äquivalent zu den beiden Ungleichungen

h(r2 - h/2) < r1(r1 + r2 - h)

f(h) := h2 - 2(r1 + r2)h + 2 r1(r1 + r2) > 0

Die zweite Bedingung (5) ist wegen (6) äquivalent zu den beiden Ungleichungen

h(r1 - h/2) ≤ r2(r1 + r2 - h)

g(h) := h2 - 2(r1 + r2)h + 2 r2(r1 + r2) ≥ 0

Wir betrachten die Ungleichungen für  f(h) und  g(h) mit Fallunterscheidung:

(i)  r1 = r2
          f  und  g  haben nur eine Nullstelle  r1 + r2 . Wegen (4) und (5) folgt
        h < r1 + r2 , was auch unmittelbar aus der Aufgabenstellung einleuchtet.

(ii)  r1 > r2
          f(h)> 0  ist dann immer erfüllt; wegen (4) und (5) gilt
        g(h)≥ 0  für  h  im Bereich unterhalb der linken Nullstelle, also
        h ≤ r1 + r2 -(r12 - r22)1/2

(iii)  r1 < r2
          g(h)≥ 0  ist dann immer erfüllt; wegen (4) und (5) gilt
        f(h)> 0  für  h  im Bereich unterhalb der linken Nullstelle, also
        h < r1 + r2 -(r22 - r12)1/2

Das Supremum der möglichen Werte für  h  in Abhängigkeit von  r2 ist in Bild 2 dargestellt.  r1 wurde o.E. zu  1  normiert.

h als Funktion von r2

Bild 2      sup h  als Funktion von  r2 


Aufgabe 2

r1, r2  und  h  seien vorgegeben. Berechnen Sie das Volumen und den Schwerpunkt der Globoule.


Der erste Ansatz für das Volumen der Globoule verwendet die Formeln für das Volumen von Kugelabschnitten, wie man sie in vielen Formelsammlungen zur Geometrie findet (siehe Bild 1):

V = VKugel 1 - VAbschnitt 1 - VAbschnitt 2

(7)   V = (π/3)·(4r13 - h12(3r1-h1) - h22(3r2-h2))

h1, h2  lassen sich nach (6) durch  h  ausdrücken.

Die Globoule ist aber auch ein Drehkörper, dessen Volumen mit Hilfe der Integralrechnung berechnet werden kann. In Bild 3 ist der Querschnitt durch diesen Drehkörper dargestellt. Die zu integrierenden Funktionen sind

y1(x) = (r12-x2)1/2         y2(x) = (r22-(x-r1-r2+h)2)1/2

Bei  y2 wurde benutzt, dass  K2 ihren Mittelpunkt in  r1+r2-h  hat.

Integral

Bild 3

V = π·bd y12(x)dx - π·cd y22(x)dx

Die Integration und die nachfolgende Vereinfachung des Ergebnisses kann man einem CAS überlassen. Mit den Abkürzungen

p = r1 + r2 - h     q = 4(r12 + r1r2 + r2h) - h2

erhält man:

(8)   V = (π/12)·(q/p)·(2r1 - h)2

Umformungen mit einem CAS zeigen auch, dass (7) und (8) gleich sind, wenn man  h1, h2 mit (6) durch  h  ausdrückt.

Nun zum Schwerpunkt  xs der Globoule.

xs = (π/V)·bd x·y12(x)dx - (π/V)·cd x·y22(x)dx

(9)   xs = -h2(h2 + 6·r2(r1+r2) - 2h(r1+3r2))/(2·p·q)


Aufgabe 3

Bei der Globoule von Thomas Jahre ist die Eindellung  A2 eine Halbkugel, die genau bis zum Mittelpunkt von  K1 reicht.

Berechnen Sie alle Maßzahlen dieser Globoule in Abhängigkeit von  r1 , auch das Volumen und den Schwerpunkt.

Jahre-Problem
Bild 4

Wir setzen zunächst  r1 = 1 . Da die Delle bis zum Mittelpunkt von  K1 reicht, ist  h = r1 = 1 (siehe Bild 1). Da die Delle halbkugelförmig ist, gilt in Bild 4  a = h2 = r2 = √.5  und  h1 = 1 - √.5 .

Mit (8) erhält man  V = π(3√2 + 8)/12  3.205

Mit (9) erhält man  xs = (3√2 - 8)/23  -0.163

Nun sei  r1  beliebig. Wir fassen zusammen:

(10)   Die Delle in  K1 habe die Form einer Halbkugel, die bis zum Mittelpunkt reicht. Dann gilt:

     r2 = r1·√.5

     h
 = r1    h1 = r1(1-√.5)    h2 = r1·√.5

     a
 = r1·√.5

     V
 = r13·π(3√2 + 8)/12

     xs
 = r1(3√2 - 8)/23


Thomas Jahre hat das Problem für   r1 = 3 cm  gestellt.  K2 hat dann den Radius  r2  2.121 . Die Globoule hat das Volumen  V  86.538 cm3  und den Schwerpunkt  xs  -0.490 .


Aufgabe 4

Wenn man eine Globoule mit unbekannten Maßen vorgelegt bekommt, so kann man relativ einfach den Durchmesser  2r1 , sowie  h1 als Differenz von  2r1 und der Höhe der Globoule messen. Etwas schwieriger ist die Messung von  h2 als Tiefe der Delle. Bei meiner Globoule (siehe Foto unten) ist  r1 = 3 cm, h1 = 1.2 cm  und  h2 = 1.35 cm .

Bestimmen Sie aus  r1, h1 und  h2 den Radius  r2 . Was ergibt sich für die Globoule auf dem Foto? Berechnen Sie auch  V  und  xs .

Foto Globoule

Globoule

Nach (6) ist  a2 = 2r1h1 - h12  und  r2 = (a2+h22)/(2h2)

(11)   r2 = (2r1h1 - h12 + h22)/(2h2)

Für  r1 = 3 cm, h1 = 1.2 cm  und  h2 = 1.35 cm  erhält man mit (11), (8), (9):

r2  2.808 cm    V  87.832 cm3    xs  -0.501 cm 

In Bild 5 sind für diese Globoule die Mittelpunkte von  K1 und  K2 grün und der Schwerpunkt der Globoule schwarz markiert.

eigene Globoule
Bild 5


Publiziert 2016-03-08          Stand 2014-12-31


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