Manfred Börgens
Mathematische Probleme  # 95
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Sphärische Triangulation

Teil 4
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In den ersten drei Teilen der "Sphärischen Triangulation" wurden Kugel-Deltaeder vorgestellt, also konvexe Polyeder, deren sämtliche Flächen Dreiecke sind und deren Ecken alle auf der Umkugel liegen. Diese ermöglichen eine Triangulation der Kugel, da die Kanten der Polyeder durch die entsprechenden Geodätischen auf der Kugel ersetzt werden können.

In diesem vierten Teil sollen nur spezielle Kugel-Deltaeder behandelt werden, die wir Kuppel-Deltaeder nennen wollen, da sie beim Bau Geodätischer Kuppeln bevorzugt verwendet werden. Ein Kuppel-Deltaeder ist ein Kugel-Deltaeder, an dessen sämtlichen Ecken  5  oder  6  Kanten (bzw. Dreiecke) zusammentreffen.

Was wissen wir aus den ersten drei Teilen der "Sphärischen Triangulation" über konvexe Polyeder, die nur von Dreiecken begrenzt werdenF  soll die Anzahl der Flächen bezeichnen,  E  die Anzahl der Ecken und  K  die Anzahl der Kanten.


Aufgabe:
Finden und beschreiben Sie weitere Kuppel-Deltaeder.

Vorschlag:

Hilfreiche und schöne Web-Quelle: Werner Brefeld: Geodätische Kuppeln



Lösung



Hier sind wichtige Klassen von Polyedern, die eine Umkugel aufweisen: Platonische Körper, Archimedische Körper, Prismen, Antiprismen.

Welche Polyeder aus diesen Klassen sind Kuppel-Deltaeder?

Da an jeder Ecke  5  oder  6  Kanten zusammentreffen müssen, ist unter den Platonischen Körpern nur das Ikosaeder ein Kuppel-Deltaeder.

Unter den Archimedischen Körpern und den Prismen kommen keine Kuppel-Deltaeder vor, da alle Flächen Dreiecke sein müssen.

Es gibt ein Antiprisma, das nur aus Dreiecken besteht, nämlich das Oktaeder, aber das wird schon unter den Platonischen Körpern aufgeführt; außerdem treffen an jeder Ecke nur  4  Kanten zusammen.

Als nächstes schauen wir, ob sich in den genannten Klassen Polyeder finden lassen, die sich analog zum Penta-Dodekaeder in Teil 2 zu Kuppel-Deltaedern 1. Ordnung ausgestalten lassen. Dafür kommen diejenigen Polyeder in Frage, die Fünfecke oder Sechsecke als Flächen haben, denn diese lassen sich in  5  oder  6  Dreiecke teilen. Dann müssen aber die anderen Flächen des Ursprungskörpers Dreiecke sein, und nach der Teilung muss wieder die Forderung nach  5  oder  6  Kanten an jeder Ecke überprüft werden.

Wir werden dafür eine einheitliche Terminologie brauchen. Wenn also ein Polyeder mit Umkugel nur aus Dreiecken, Fünfecken oder Sechsecken besteht, so soll das Polyeder, das durch Teilung der Fünfecke und Sechsecke mit anschließender Ausziehung (Projektion) der neuen Ecken auf die Umkugel entsteht, durch ein vorgestelltes "Tri-" bezeichnet werden (das soll an die Triangulation erinnern). Wir werden also ab hier das Penta-Dodekaeder mit Tri-Dodekaeder benennen. Offenbar ist das Tri-Dodekaeder der einzige Platonische Körper, bei dem dieses Verfahren möglich ist.

Die Archimedischen Körper erweisen sich Fundgrube für Polyeder, die sich zu Kuppel-Deltaedern umgestalten lassen. Wir suchen also unter den Archimedischen Körpern diejenigen, die nur Dreiecke, Fünfecke und Sechsecke als Flächen aufweisen.

Wir finden vier Kandidaten:


Unter den Antiprismen findet sich ebenfalls ein Kandidat:

Bei allen fünf Kandidaten wird sich herausstellen, dass nach der Triangulierung  -  also nach der Teilung aller Fünf- und Sechsecke in Dreiecke  -  Kuppel-Deltaeder entstehen, so dass fünf weitere Kuppel-Deltaeder 1. Ordnung hinzukommen (insgesamt kennen wir dann sieben von ihnen); hier sind sie der Größe nach geordnet:

Unter den gefundenen sieben Kuppel-Deltaedern 1. Ordnung ist somit ein Platonischer Körper, ein triangulierter Platonischer Körper, ein trianguliertes Antiprisma und vier triangulierte Archimedische Körper.

Hier ist ein erster überblick über diese Polyeder. Danach folgt eine genauere Untersuchung.

  Dodekaeder Hexa-Antiprisma Tetraederstumpf Ikosidodekaeder Ikosaederstumpf Abschräg-Dodekaeder
  Dodekaeder Hexa-Antiprisma Tetraederstumpf Ikosidodekaeder Ikosaederstumpf Abschraeg-Dodekaeder
Ikosaeder Tri-Dodekaeder Tri-Hexa-Antiprisma Tri-Tetraederstumpf Tri-Ikosidodekaeder Tri-Ikosaederstumpf Tri-Abschraeg-Dodekaeder
Ikosaeder Tri-Dodekaeder Tri-Hexa-Antiprisma Tri-Tetraederstumpf Tri-Ikosidodekaeder Tri-Ikosaederstumpf Tri-Abschräg-Dodekaeder

Die sieben Kuppel-Deltaeder 1. Ordnung stehen unten, jeweils unter ihren nicht-triangulierten Ursprungskörpern. Man kann an den unteren Bildern gut erkennen, dass  -  wie gefordert  -  an jeder Ecke fünf oder sechs Kanten zusammentreffen.

Aus allen Kuppel-Deltaedern lassen sich natürlich topologisch gleichartige herstellen, indem man die Ecken auf der Kugel leicht verrückt. Diese wollen wir nicht als neue oder zusätzliche Kuppel-Deltaeder auffassen. Hier kommt es auf die Anzahl  F  der Flächen (Dreiecke) an (daraus lassen sich  E, E6  und  K  berechnen).

Nun sollen Kuppel-Deltaeder genauer beschrieben und nach der Anzahl der Dreiecke  F  geordnet werden. Ein Kuppel-Deltaeder 2. Ordnung geht aus einem Kuppel-Deltaeder 1. Ordnung durch Teilung aller Dreiecke in jeweils  j2  Dreiecke hervor; dabei werden alle Kanten der Kuppel-Deltaeder in jeweils  j  gleiche Stücke geteilt. Die neu entstehenden Ecken werden auf die Umkugel projiziert. Für  j = 2  kennen wir dieses Verfahren bereits für das Tetra-Ikosaeder (siehe Teil 1). Das nächste Bild zeigt die Teilung und Projektion für  j = 3 ; für größere  j  geht man analog vor.

j_3

Wir wollen eine einheitliche Terminologie für Kuppel-Deltaeder 2. Ordnung vereinbaren. Durch das eben beschriebene Teilungsverfahren wird die Anzahl der Dreiecke mit dem Faktor  j2  vervielfacht. Deshalb soll  j2-  als Präfix vor den Namen des Kuppel-Deltaeders 1. Ordnung gestellt werden. Dadurch wird das Tetra-Ikosaeder zum  22-Ikosaeder.

Die bisher beschriebenen Kuppel-Deltaeder werden nun bis  F  200  genauer dargestellt, nach  F  geordnet. Links sind die Polyeder vor und rechts nach der Triangulation abgebildet. Die Formel für die Ecken hat die Gestalt  E = E5 + E6 = 12 + E6 .



Ikosaeder

Bild 1       Ikosaeder  →  1. Ordnung      F = 20   E = 12 + 0

Das Ikosaeder ist der einzige Platonische Körper unter den Kuppel-Deltaedern. Alle anderen Kuppel-Deltaeder weisen also auch nicht-gleichseitige Dreiecke auf, sind also nicht regulär wie Platonische und Archimedische Körper und (Anti-)Prismen.



Tri-Hexa-Antiprisma

Bild 2       Hexa-Antiprisma und Tri-Hexa-Antiprisma  →  1. Ordnung      F = 24   E = 12 + 2

Unter den Antiprismen kommen für die Umformung zu Kuppel-Deltaedern nur das Penta-Antiprisma (2  Fünfecke,  10  Dreiecke) und das Hexa-Antiprisma (2  Sechsecke,  12  Dreiecke) in Frage. Das Tri-Penta-Antiprisma ist aber identisch mit dem Ikosaeder.



Tri-Tetraederstumpf

Bild 3       Tetraederstumpf und Tri-Tetraederstumpf  →  1. Ordnung      F = 28   E = 12 + 4

Der Tetraederstumpf entsteht aus dem Tetraeder durch Abschneiden aller 4 Ecken bis jeweils zum Drittel der Kantenlängen. Die  4  Schnittflächen sind dann gleichseitige Dreiecke, und aus den ursprünglichen Dreiecksseiten des Tetraeders werden  4  gleichseitige Sechsecke. Bei der Umformung zum Tri-Tetraederstumpf bleiben die Dreiecke erhalten, und aus den Sechsecken werden insgesamt  24  Dreiecke, die durch die Projektion der  4  neu entstandenen Ecken auf die Umkugel nur noch gleischenklig, aber nicht mehr gleichseitig sind.



Tri-Dodekaeder

Bild 4       Dodekaeder und Tri-Dodekaeder  →  1. Ordnung      F = 60   E = 12 + 20

Wir sehen hier das einzige Kuppel-Deltaeder 1. Ordnung, das durch Triangulierung eines Platonischen Körpers entsteht. Das Tri-Dodekaeder wurde unter dem Namen Penta-Dodekaeder ausführlich in Teil 2 und Teil 3 untersucht.



2-Ikosaeder

Bild 5       Ikosaeder, Ikosidodekaeder und  22-Ikosaeder = Tri-Ikosidodekaeder  →  1. Ordnung und 2. Ordnung (j = 2)      F = 80   E = 12 + 30

Hier taucht ein interessantes Phänomen auf: Das Kuppel-Deltaeder lässt sich auf zwei verschiedene Weisen herstellen. Das in Bild 5 links unten abgebildete Ikosidodekaeder ist ein Archimedischer Körper mit  20  Dreiecken und  12  Fünfecken. Es entsteht, wenn man von einem Ikosaeder alle  12  Ecken abschneidet (dadurch entstehen die Fünfecke); die Schnitte verlaufen durch die Kantenmitten des Ikosaeders, so dass von den ursprünglichen  20  Dreiecken jeweils die kleinen Mitteldreiecke stehen bleiben. Durch Triangulierung der  12  Fünfecke zu  60  Dreiecken und Projektion der Fünfeckmitten auf die Umkugel entsteht das Tri-Ikosidodekaeder.

Es gibt aber auch einen anderen (vielleicht einfacheren) Weg, um dieses Kuppel-Deltaeder herzustellen. Teilt man alle  20  Flächen des Ikosaeders (links oben) in  4  kleinere Dreiecke (mit anschließender Projektion der neuen Ecken auf die Umkugel), erhält man ebenfalls ein Kuppel-Deltaeder mit  F = 80  (siehe Teil 1 und Teil 3).

Dass aus beiden Körpern das gleiche Kuppel-Deltaeder entsteht, sieht am besten an der folgenden Graphik:

Aequivalenz_1

Man geht aus vom Ikosaeder und macht die  22-Teilung (erstes Bild  →  zweites Bild), um das Kuppel-Deltaeder zu erhalten. Es entstehen  12  "E5-Ecken" (dort treffen  5  weiße Dreiecke zusammen). Fasst man jeweils  5  weiße Dreiecke zu einem Fünfeck zusammen, so grenzen an den Kanten dieser weißen Fünfecke Dreiecke (gelb) an, mit der Abfolge  "5-3-5-3"  an den weiß/gelben Ecken.

Diese weißen Fünfecke ebnet man ein (zweites Bild  →  drittes Bild). Es bleiben  12  gleichseitige Fünfecke und die Mitteldreiecke aus der  22-Teilung übrig, mit der Abfolge  "5-3-5-3"  an allen Ecken, also erhält man ein Ikosidodekaeder.

Alle Schritte sind umkehrbar; alle drei Körper haben die gleiche Umkugel.

Also ist ein  22-Ikosaeder auch ein Tri-Ikosidodekaeder.

Vorsicht: Stellt man aus einem Ikosaeder ein Ikosidodekaeder her (durch Abschneiden der Ecken auf der Hälfte der Kanten), so ist dies nicht der rechte Körper, denn es wird zunächst die Umkugel kleiner. Also wären dann auch die Dreiecke auf dem Ikosidodekaeder kleiner als die Mitteldreiecke des  22-Ikosaeders (drittes Bild  →  zweites Bild). Will man also vom Ikosaeder über das Ikosidodekaeder zum Kuppel-Deltaeder kommen, schneidet man erst die Ecken des Ikosaeders ab, teilt dann die Fünfecke des so entstandenen Ikosidodekaeders in jeweils  5  Dreiecke und projiziert die Mittelpunkte der Fünfecke auf die Ikosidodekaeder-Umkugel. Schließlich vergrößert man den ganzen Körper, indem alle Ecken auf die Kugel mit gleichem Mittelpunkt und Radius  1  projiziert werden.



2-Tri-Hexa-Antiprisma

Bild 6       Tri-Hexa-Antiprisma und  22-Tri-Hexa-Antiprisma  →  2. Ordnung (j = 2)      F = 96   E = 12 + 38

Das Tri-Hexa-Antiprisma kam schon als Kuppel-Deltaeder 1. Ordnung vor (Bild 2). Im kleinen, grün umrundeten Bild sieht man, dass die MATHEMATICA-Graphik die gelben Dreiecke gleichmäßiger teilt als die grünen; das ließe sich natürlich leicht ändern.



2-Tri-Tetraederstumpf

Bild 7       Tri-Tetraederstumpf und  22-Tri-Tetraederstumpf  →  2. Ordnung (j = 2)      F = 112   E = 12 + 46

Der Tri-Tetraederstumpf kam schon als Kuppel-Deltaeder 1. Ordnung vor (Bild 3). Im kleinen, grün umrundeten Bild sieht man, dass die MATHEMATICA-Graphik die gelben Dreiecke gleichmäßiger teilt als die grünen; das ließe sich natürlich leicht ändern.



Tri-Abschraeg-Dodekaeder

Bild 8       Abgeschrägtes Dodekaeder und Tri-Abschräg-Dodekaeder  →  1. Ordnung      F = 140   E = 12 + 60

Das abgeschrägte Dodekaeder ist einer der am schwierigsten herzustellenden Archimedischen Körper. Man kann es aus einem Dodekaeder nicht durch einfaches Abschneiden von Ecken erzeugen. Es hat als Flächen  80  Dreiecke und  12  Fünfecke, woraus sofort  F = 140  und damit  E6 = 60  folgt.



3-Ikosaeder

Bild 9       Ikosaeder, Ikosaederstumpf und  32-Ikosaeder = Tri-Ikosaederstumpf  →  1. Ordnung und 2. Ordnung (j = 3)      F = 180   E = 12 + 80

Auch hier (wie in Bild 5) stoßen wir auf ein Kuppel-Deltaeder, das sich auf zwei verschiedene Weisen herstellen lässt. Links unten in Bild 9 sehen wir den Ikosaederstumpf, einen Archimedischen Körper mit  12  Fünfecken und  20  Sechsecken als Flächen. Er entsteht, wenn man von einem Ikosaeder alle  12  Ecken abschneidet (dadurch entstehen die  12  Fünfecke); die Schnitte verlaufen durch die gedrittelten Kanten des Ikosaeders, so dass aus den ursprünglichen  20  Dreiecken  20  Sechsecke entstehen. Durch Triangulierung der  12  Fünfecke zu  60  Dreiecken und der  20  Sechsecke zu  120  Dreiecken sowie der Projektion der Fünfeck- und Sechseckmitten auf die Umkugel entsteht der Tri-Ikosaederstumpf.

Es gibt aber auch einen anderen (vielleicht einfacheren) Weg, um dieses Kuppel-Deltaeder herzustellen. Teilt man alle  20  Flächen des Ikosaeders (links oben in Bild 9) in  9  kleinere Dreiecke (mit anschließender Projektion der neuen Ecken auf die Umkugel), erhält man ebenfalls ein Kuppel-Deltaeder mit  F = 180 .

Dass aus beiden Körpern das gleiche Kuppel-Deltaeder entsteht, sieht man am besten an der folgenden Graphik:

Aequivalenz_2

Man geht aus vom Ikosaeder und macht die  32-Teilung (erstes Bild  →  zweites Bild), um das Kuppel-Deltaeder zu erhalten. Über dem Pfeil ist dargestellt, wie die Teilung einer Fläche des Ikosaeders mit anschließender Projektion der neu entstandenen Ecken auf die Umkugel sowie die Einfärbung im zweiten Bild zustande kommt. Von den jeweils  9  Dreiecken, die aus einer Ikosaeder-Fläche entstehen, werden die mittleren  6  Dreiecke gefärbt und die übrigen  3  Dreiecke bleiben weiß. Also treffen je  5  weiße Dreiecke zusammen, und zwar an den ursprünglichen  12  Ecken des Ikosaeders (E5 = 12). Wegen  F = 180  ergibt sich  E6 = 80 .

Die weißen Fünfecke und die farbigen Sechsecke ebnet man ein (zweites Bild  →  drittes Bild). Es bleiben  12  gleichseitige Fünfecke und  20  gleichseitige Sechsecke übrig, mit der Abfolge "5-6-6" an allen Ecken, also ein Ikosaederstumpf.

Alle Schritte sind umkehrbar; alle drei Körper haben die gleiche Umkugel.

Also ist ein  32-Ikosaeder auch ein Tri-Ikosaederstumpf.

Vorsicht: Stellt man aus einem Ikosaeder einen Ikosaederstumpf her (durch Abschneiden der Ecken auf dem Drittel der Kanten), so ist dies nicht der rechte Körper, denn es wird zunächst die Umkugel kleiner. Will man also vom Ikosaeder über den Ikosaederstumpf zum Kuppel-Deltaeder kommen, schneidet man erst die Ecken des Ikosaeders ab, trianguliert alle Flächen (drittes Bild  →  zweites Bild) und projiziert die Mittelpunkte der Fünf- und der Sechsecke auf die Ikosaederstumpf-Umkugel. Schließlich vergrößert man den ganzen Körper, indem alle Ecken auf die Kugel mit gleichem Mittelpunkt und Radius  1  projiziert werden.




Nun kann man durch weitere Teilungen der Flächen der bis hierhin behandelten Polyeder beliebig viele Kuppel-Deltaeder herstellen. Die folgende Tabelle zeigt dies bis  F  1000 .

    F E5 + E6
1. Ikosaeder 20 12 + 0
2. Tri-Hexa-Antiprisma 24 12 + 2
3. Tri-Tetraederstumpf 28 12 + 4
4. Tri-Dodekaeder 60 12 + 20
5. 22-Ikosaeder = Tri-Ikosidodekaeder 80 12 + 30
6. 22-Tri-Hexa-Antiprisma 96 12 + 38
7. 22-Tri-Tetraederstumpf 112 12 + 46
8. Tri-Abschräg-Dodekaeder 140 12 + 60
9. 32-Ikosaeder = Tri-Ikosaederstumpf 180 12 + 80
10. 32-Tri-Hexa-Antiprisma 216 12 + 98
11. 22-Tri-Dodekaeder 240 12 + 110
12. 32-Tri-Tetraederstumpf 252 12 + 116
13. 42-Ikosaeder = 22-Tri-Ikosidodekaeder 320 12 + 150
14. 42-Tri-Hexa-Antiprisma 384 12 + 182
15. 42-Tri-Tetraederstumpf 448 12 + 214
16. 52-Ikosaeder 500 12 + 240
17. 32-Tri-Dodekaeder 540 12 + 260
18. 22-Tri-Abschräg-Dodekaeder 560 12 + 270
19. 52-Tri-Hexa-Antiprisma 600 12 + 290
20. 52-Tri-Tetraederstumpf 700 12 + 340
21. 62-Ikosaeder = 22-Tri-Ikosaederstumpf = 32-Tri-Ikosidodekaeder 720 12 + 350
22. 62-Tri-Hexa-Antiprisma 864 12 + 422
23. 42-Tri-Dodekaeder 960 12 + 470
24. 72-Ikosaeder 980 12 + 480



Die hier beschriebenen Kuppel-Deltaeder lassen sich nun noch weiter zusammenfassen. Den Ausführungen zu Bild 5 und Bild 9 folgend, können wir uns auf die  5  Grundtypen Ikosaeder, Tri-Hexa-Antiprisma, Tri-Tetraederstumpf, Tri-Dodekaeder und Tri-Abschräg-Dodekaeder beschränken.

Welche Kuppel-Deltaeder werden dadurch erfasst?
Unter den Platonischen Körpern, Archimedischen Körpern und Antiprismen (die alle Umkugeln aufweisen) wählen wir diejenigen aus, die aus Dreiecken, Fünfecken und Sechsecken aufgebaut sind. Durch Triangulierung der Fünf- und Sechsecke und anschließender Projektion der neu entstandenen Ecken auf die Umkugel erhalten wir ausnahmslos Polyeder, bei denen an jeder Ecke  5  oder  6  Kanten zusammentreffen (Kuppel-Deltaeder). Bei diesen wurde dann eine weitere Teilung der Flächen nach einem einfachen Muster in  j2  kleinere Dreiecke vorgenommen.

Mit  j = 1  für die Grundtypen und  j  2  für die Teilungen der Dreiecke erhalten wir die folgende Übersicht über das Gesamtergebnis dieser Seite.


Die Teilung der Flächen in kleinere Dreiecke lässt sich auch anders als hier beschrieben durchführen; so kommt man auf weitere Kuppel-Deltaeder. Hier sind zwei Links dazu:
Tadeusz E. Dorozinski: Geodätische Kuppeln
Christopher J. Kitrick: Geodesic Domes



Publiziert 2016-06-12          Stand 2014-11-14


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