Manfred Börgens
Mathematische Probleme  # 98
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Aufsteigende Würfel 2                     Problem # 97 :  Aufsteigende Würfel 1


Wuerfel mit Innenhohlkugel

Bild 1


Für das Spiel in Problem # 97 werden sechs Würfel mit aufsteigender Größe benötigt. Damit alle das gleiche Gewicht haben, soll nur der kleinste massiv sein; die anderen sind innen ausgehöhlt. Das soll nun genauer definiert werden:

(a)  Die Würfel sind alle aus dem gleichen homogenen Material gefertigt.

(b)  Ihre Kantenlänge wächst von einem Würfel zum nächstgrößeren mit einem festen Faktor  q > 1 . Der kleinste Würfel soll die Kantenlänge  1  haben.

(c)  Der kleinste Würfel ist massiv. Alle anderen sind innen kugelförmig ausgehöhlt. Die inneren Hohlkugeln haben ihren Mittelpunkt im Mittelpunkt der Würfel (siehe Bild 1). Ihr Durchmesser ist maximal so groß wie die Kantenlänge des zugehörigen Würfels.

(d)  Alle (Hohl-)Würfel haben das gleiche Gewicht wie der massive (kleinste) Würfel.

Nun zur Aufgabe:

Geht das mit allen  q > 1 ?  Falls nicht: Welche  q  sind mit (a) - (d) vereinbar?

Ein bestimmtes  q  sei festgelegt. Welche Radien haben dann die Hohlkugeln im Inneren der Würfel?
  Betrachten Sie auch den Spezialfall, dass die Hohlkugel an die Seiten des Würfels stößt.



Lösung



Publiziert 2017-02-27          Stand 2015-12-31


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