Manfred Börgens
Mathematische Probleme  # 101
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Für welche Primzahlen  p  ist  2p + p2  prim ?

Durch Auflistung der Summen für die ersten  p  erkennt man schnell eine Teilbarkeitsregel, die (fast immer) für die Summe gilt. Diese Regel gilt aber nicht für die beiden einzelnen Summanden, sondern bei denen wird man sich die Reste beim Teilen anschauen müssen, um einen Beweis zu finden.



Lösung



Wir schauen uns  2p + p2  für die Primzahlen  p  19  an:

 p    2p + p2
 2       8
 3      17 prim
 5      57
 7     177
11    2169
13    8361
17  131361
19  524649


Für  p = 3  erhält man eine Primzahl, für alle anderen ungeraden Primzahlen  p  ergeben sich für die Summen Vielfache von  3 . Das soll nun bewiesen werden. Einen Hinweis könnten die beiden einzelnen Summanden geben:

 p      2p   p2
 5      32   25
 7     128   49
11    2048  121
13    8192  169
17  131072  289
19  524288  361


Nun, das ist nicht schwer zu sehen:
-  In der Spalte für  2p  fehlt immer  1  an einem Vielfachen von  3 ;  2p  lässt sich also als  3j - 1  schreiben.
-  In der Spalte für  p2  steht stets  1  plus ein Vielfaches von  3 ;  p2  lässt sich also als  3k + 1  schreiben.

Das kann man auch so darstellen:  2p = 2 mod 3,  p2 = 1 mod 3

Warum ist das so?

2p = 2 mod 3  gilt für alle ungeraden  p , nicht nur für Primzahlen, wie man induktiv nachweist:

Der Induktionsanfang für  p = 1  ist trivial.  -  Ist  2p = 3j - 1 , so ist  2p+2 = 4·(3j - 1) = 12j - 4 = 12j - 3 - 1 = 3(4j - 1) - 1 = 3j1 - 1

Nun zu  p2 = 1 mod 3 . Hier wird verwendet, dass  p  prim ist.  -  Wir zeigen, dass  p2 - 1  durch  3  teilbar ist:

p2 - 1 = (p - 1)(p + 1). Nun sind  p - 1 , p , p + 1  drei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen; da  p  als Primzahl nicht durch  3  teilbar ist, muss entweder  p - 1  oder  p + 1  durch  3  teilbar sein.


3  ist die einzige Primzahl  p ,  für die  2p + p2  prim ist.
Alle anderen  2p + p2  mit  p > 3  sind durch  3  teilbar.


Dieses Problem entstammt der hervorragenden und sehr empfehlenswerten Website Mathematical Excalibur, die vom Department of Mathematics der Hong Kong University of Science and Technology herausgegeben wird. Unser Primzahlenproblem findet man in Ausgabe 3/3, Problem 56.  -  Es werden auf dieser Problem-Seite von Zeit zu Zeit noch einige weitere Excalibur-Probleme erscheinen.


Publiziert 2017-12-31          Stand 2016-12-26


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