Manfred Börgens
Mathematische Probleme  # 103
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Für welche  n  N  ist  √(n-1) + √(n+1) rational ?



Lösung



√(n-1) + √(n+1) rational   ⇒  (√(n-1) + √(n+1))2  rational   ⇒  2n + 2√(n2-1)  rational   ⇒  √(n2-1)  rational   ⇒  √(n2-1) = a/b  mit  a,b  N

Wir quadrieren beide Seiten:   n2 - 1 = a2/b2   ⇒   b2(n2-1) = a2

Dann ist  n2 - 1  eine Quadratzahl (denn die Zahlen auf beiden Seiten der letzten Gleichung enthalten die gleichen Primfaktoren, und diese jeweils in der gleichen geraden Potenz; also enthält  a2  alle Primfaktoren von  b2  -  diese sind in  b2 alle gerade potenziert; die restlichen Primfaktoren in  a2  -  folglich ebenfalls alle in gerader Potenz  -  sind dann diejenigen von  n2 - 1 ) .

Aber auch  n2  ist Quadratzahl. Die dazu nächst niedrigere Quadratzahl ist  (n-1)2 ≤ n2 - 1  mit  " = "  nur für  n = 1 .  Für  n > 1  kann also  n2 - 1  keine Quadratzahl sein, also ist für  n > 1  die ursprüngliche Annahme √(n-1) + √(n+1)  Q  falsch. Für  n = 1  ist ebenfalls  √(n-1) + √(n+1) = √2  Q ,  was den Beweis abschließt.

Für alle  n  N  ist  √(n-1) + √(n+1) irrational.


Wie bei Problem 101 ist die Quelle für dieses Problem Mathematical Excalibur; siehe dort 3/2, Problem 51.


Publiziert 2018-07-13          Stand 2016-11-01


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