Manfred Börgens
Mathematische Probleme  # 5
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Problem des Monats Februar 2001

Meister zum Lehrling:

"Nimm Dir die Leiter, die da drüben liegt. Sie ist 7 m lang. Du kannst sie an die Vorderkante des Vorbaus und gleichzeitig an die Hauswand lehnen. Dann steigst Du dort auf die Feuerleiter um."

Lehrling (etwas später, weinerlich):

"Meister, es geht nicht, unsere Leiter kommt so nicht bis an die Feuerleiter heran."

Was hat der Meister nicht bedacht?

Als ihm das bald darauf selbst einfällt, denkt er sich: "Das soll mir kein zweites Mal passieren!" Er sägt ein Stück von der Leiter ab. Wieviel?

Bild



Lösung



Was hat der Meister nicht bedacht?

Die Aufgabe, eine Leiter sowohl an eine vorspringende Kante als auch an eine Wand zu lehnen, hat nur in Ausnahmefällen genau eine Lösung. Meist geht es entweder gar nicht, oder es gibt zwei verschiedene Möglichkeiten, die Leiter aufzustellen (siehe Seitenansicht des Vorbaus in Bild 1).

Bild
Bild 1

Der Lehrling hatte die Leiter flach angelegt. Er wusste wohl ebenfalls nicht, dass es noch eine zweite Stellung geben könnte. Diese zweite, steilere Leiterstellung war aber seinem Meister bekannt, und offenbar nur diese.

Welche Idee hatte der Meister?

Damit ein solches Missverständnis nicht mehr auftreten kann (natürlich nur bei dieser Leiter und an diesem Ort), will er dafür sorgen, dass es nur eine Möglichkeit zum Anlegen der Leiter gibt.

Berechnung der beiden Lösungen

Es sollen zunächst die beiden Leiterstellungen aus Bild 1 berechnet werden. Dabei sind bekannt:

c   Länge der Leiter (hier  c = 7)

a   Abstand der Vorbaukante vom Haus (hier  a = 1.5)

b   Höhe des Vorbaus (hier  b = 3)

Mit  x  und  y  bezeichnen wir die Leiterstücke oberhalb bzw. unterhalb der Kante. Wenn man diese ausgerechnet hat, so lässt sich auch bestimmen, wie weit die Leiter vor dem Vorbau auf dem Boden aufsteht (w), wie weit oberhalb des Vorbaus sie die Wand berührt (h) und wie steil sie steht (Winkel alpha). Alle diese Größen findet man in der Seitenansicht des Vorbaus in Bild 2.

Bild
Bild 2

Zur Bestimmung von  x  und  y  lassen sich zwei Gleichungen aufstellen:

Formel

Die zweite Gleichung folgt aus:

Formel

oder mit Hilfe des Winkels:

Formel

Die Gleichungen im Kasten sind in Bild 3 graphisch dargestellt. Die eingezeichnete Kurve

Formel

hat die Asymptoten  x = a  und  y = b .

Man sieht : Ist  c  zu klein (Leiter zu kurz), so gibt es keine Lösung. Ist  c  genügend groß (Leiter lang genug), so gibt es zwei Lösungen. In einem Grenzfall, für eine bestimmte Leiterlänge  c, gibt es genau eine Lösung.

Bild
Bild 3

Nun zur Lösung:

Setzt man  y = c - x  in die zweite Gleichung im Kasten ein, so erhält man eine Gleichung 4. Grades:

Formel

Für gegebene  a, b, c  findet man die Lösungen  x  am besten mit Hilfe mathematischer Software. Für  a = 1,5,  b = 3  und  c = 7  (in m) erhält man 4 Lösungen (hier auf volle mm gerundet):

x = -1,601

x = 1,844

x = 3,722

x = 10,034

Da  x  zwischen  a  und  c  liegen muss, kommen nur die zweite und die dritte Lösung in Betracht.

Mit  x  erhält man leicht die anderen Größen in Bild 2:

Formel

In Bild 1 sind die beiden möglichen Leiterstellungen für unser Ausgangsproblem maßstäblich richtig eingezeichnet. Mit den x-Werten von oben lässt sich berechnen, wie hoch die Leiter an der Wand anliegt und wie weit sie von der Hauswand entfernt aufsteht:

Formel

Man kann daraus schließen, dass das untere Ende der Feuerleiter deutlich höher als 4 m liegen muss, da der Lehrling sie nicht erreichen konnte. Die Feuerleiter darf andererseits nicht wesentlich höher als bei 6,4 m enden, sonst wäre die Anweisung des Meisters an den Lehrling sinnlos gewesen.

Der Meister will ein Stück absägen. Wie viel?

Es soll sich durch die Verkürzung der Leiter eine eindeutige Lösung ergeben. Wie das geht, ist aus Bild 3 ersichtlich: Die Gerade (im Bild grün) muss die Tangente der Kurve werden. Folglich sucht man den Kurvenpunkt mit der Steigung -1.

Ableitung der Kurvengleichung:

Formel

Wegen  y' = -1  erhält man

Formel

Nun muss nur noch  x  ausgerechnet und eingesetzt werden. Da (x,y) auf der Kurve liegen muss, gilt:

Formel

Dies lässt sich wesentlich eleganter ausdrücken. Das "Leiterproblem" hat genau dann eine eindeutige Lösung, wenn

Formel

Der Meister verkürzt die Leiter auf  6,243 m.

Dann ergibt sich die eindeutige Lösung  x = 2.413 m. Die Leiter steht dann in  4.89 m  Höhe an der Hauswand an.



Stand 2003-01-17
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