Manfred Börgens
Mathematische Probleme  # 9
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Problem des Monats Juni 2001

Die Vorlesung bei Professor X. ist mal wieder sehr langweilig. Die Klausur ist noch fern, und so wollen sich die Studis A. und B. in der letzten Reihe die Zeit mit einem Spielchen vertreiben. Beide setzen abwechselnd Münzen auf ein Blatt mit Rechenkästchen.
Wer als erster keine Münze mehr setzen kann, hat verloren.

Bild

Die Münzen müssen alle gleich groß sein. Sie dürfen nicht über den Rand des Rechtecks hinausragen. Sie dürfen sich nicht (teilweise oder ganz) überdecken. Das Bild zeigt einen möglichen Spielstand, nachdem beide Spieler je dreimal gesetzt haben.

Die Maße des Rechtecks sind unerheblich und können von Spiel zu Spiel variieren. Die Rasterung des Spielfeldes ist nicht unbedingt erforderlich, soll aber den Spielern die Orientierung erleichtern. Zur Unterscheidung (im Bild durch Farben) könnten die Spieler Vorder- bzw. Rückseite der Münzen nach oben legen, aber die Unterscheidung ist für dieses Spiel nicht wichtig.

Nach ein paar Spielrunden hat A. eine Idee. Ab dann gewinnt er jedes Spiel, in dem er anfangen darf. B. schaut ihm schnell seine Strategie ab und gewinnt auch, wenn er anfängt.

Also ist dies leider (für Eingeweihte) ein langweiliges Spiel, denn es gibt eine einfache Gewinnstrategie für den beginnenden Spieler. Welche Idee hatte A.?



Lösung



Sei A. der beginnende Spieler und B. der nachziehende. Wo findet A. immer eine freie Fläche zum Setzen seiner Münze? Nun, das findet man schnell heraus, wenn man selbst ein paar Spiele macht: A. imitiert einfach jeden Zug von B., indem er spiegelbildlich zum Mittelpunkt des Spielfeldes setzt. Das geht natürlich nur, wenn B. seine Münzen nicht so nah an den Mittelpunkt setzt, dass A.s "Antwort" zu einer Überlappung der Münzen führen würde. Aber dies kann A. gleich im ersten Zug verhindern, indem er seine Münze genau in den Mittelpunkt setzt.

Die Zugfolge könnte also so wie in diesem Bild aussehen:

Bild

A. kann mit dieser Strategie also immer setzen, B. wird irgendwann keinen Platz mehr finden und verlieren.

Man sieht, dass das Spielfeld nicht rechteckig sein muss, es muss nur punktsymmetrisch sein. Auch auf solchen Spielfeldern würde A.s Strategie zum Erfolg führen:

Sternfoermige Spielfelder



Stand 2003-02-03
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