Manfred Börgens
Mathematische Probleme  # 23
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Problem des Monats Oktober 2002

Gezeigt werden drei Drahtkonstruktionen aus jeweils zwei Perspektiven. In den Bildern dienen die blauen Rasterlinien nur zur besseren Orientierung, die Drähte sind schwarz.


von vorn Quadrat, von oben Kreis



von vorn V, von oben Kreis



von vorn und von oben Kreis

Sie können sich alle drei Gebilde als zusammenhängende Drahtkonstruktionen ohne freie Enden vorstellen, die innerhalb eines Würfels liegen. Legt man in den Bildern oben eine Einheit durch eine Kästchenseite fest, dann hat der Würfel die Kantenlänge 4.

Die Perspektiven soll man sich so vorstellen:

Bild; gesucht ist Ansicht von der Seite



Lösung



Der Einfachheit halber kann man sich den Würfel in  R3  als die Teilmenge  [-2,2] × [-2,2] × [-2,2]  vorstellen, so dass der Würfelmittelpunkt im Koordinatenursprung liegt. Von oben schaut man dann auf die  (x,y)-Ebene, von vorne auf die  (x,z)-Ebene und von der Seite auf die  (y,z)-Ebene.

Bild


Hier sind die Lösungen:

1. Konstruktion

Doppel-T

Darstellung aus anderer Perspektive:

oben/unten Kreise, verbunden durch zwei senkrechte Linien vorne und hinten

Die Lösung ist aber nicht eindeutig. Von den beiden Kreisen lässt sich oben und/oder unten jeweils ein Halbkreis wegnehmen. Man erhält so folgende weitere Seitenansichten:

Doppel-T mit fehlenden Armen



2. Konstruktion

Halbellipse, nach unten offen

Bei der Seitenansicht handelt sich um eine Halbellipse mit den Halbachsen  2  und  4 . Dies wird weiter unten erläutert.

Darstellung aus anderer Perspektive:

2 schraege Halbellipsen, die sich am Wuerfelboden treffen

Durch den Kreis (Ansicht von oben) wird aus dem Würfel ein Zylinder mit der Gleichung  x2 + y2 = 4  ausgeschnitten. Die Ansicht von vorne führt zu zwei Ebenen durch den Würfel mit den Gleichungen  z = -2 - 2x  und  z = -2 + 2x . Löst man diese Gleichungen nach  x  auf und setzt dann in die Zylindergleichung ein, so erhält man  y2/4 + (z + 2)2/16 = 1 . Dies gibt die Seitenansicht wieder und ist die Gleichung der Ellipse mit Mittelpunkt  y = 0, z = -2  und den Halbachsen  2  und  4 . Innerhalb des Würfels kommt  z < -2  nicht vor, so dass es sich nur um eine Hälfte der Ellipse handelt.


3. Konstruktion

Andreaskreuz

Es gibt auch andere Lösungen für die Seitenansicht:

am Kreuz duerfen Beinchen fehlen


Darstellungen aus anderer Perspektive:

2 Ellipsen in den Diagonalflaechen des Wuerfels

Ellipse in einer Diagonalflaeche des Wuerfels

Eine Ellipse und eine Halbellipse in den Diagonalflaechen des Wuerfels

Die anderen Lösungen erhält man aus den beiden letzten Bildern durch sukzessive 90°-Drehungen um die x-Achse.



Stand 2004-01-14
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