Manfred Börgens
Mathematik auf Briefmarken  # 103
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Archimedes-Lehrsaetze-Marke

Italien 2013   Michel 3649   Scott 3199


Geometrische Lehrsätze des Archimedes von Syrakus (287 - 212 v. Chr.)

Mit dieser Briefmarke wurde Archimedes von der italienischen Post 2013 geehrt. Die Unione Matematica Italiana (UMI) hatte anlässlich seines 2300. Geburtstags das Jahr 2013 zum Anno Archimedeo (Archimedisches Jahr) ausgerufen. Da es in unserer Kalenderrechnung kein Jahr 0 gibt, wäre 2014 richtig gewesen, um dieses Jubiläum zu feiern.

Archimedes wurde auf dieser Website bereits mit der Briefmarke # 33 vorgestellt.

Oben rechts auf der Marke steht die Kreiszahl  π . Der Hintergrund der Marke zeigt Dezimalstellen von  π , aber nicht fortlaufend, sondern mit Lücken bei den Zeilenumbrüchen. In der ersten Zeile ist die  7  am Anfang die  56. und die  2  am Ende die  102. Nachkommastelle; die  6  am Anfang der zweiten Zeile ist die  108. Nachkommastelle; die letzte Ziffer  0  unten rechts ist die  1010. Nachkommastelle.

Die interessantesten Details auf der Marke sind die beiden geometrischen Skizzen. Beide dienen der Beweisführung für Theoreme des Archimedes.  -  Das obere Bild stammt aus dem ersten Band von Über Kugel und Zylinder. Es illustriert Proposition 21 aus diesem Werk. Dieser Satz ist ein Zwischenergebnis auf dem Weg zur Berechnung der Kugeloberfläche, die Archimedes bereits mit infinitesimalen Methoden durchgeführt hat, etwa 1900 Jahre vor Leibniz und Newton.  -  Das untere Bild gehört zu Proposition 5 aus dem Buch der Lemmata und steht dort in einer Reihe von Sätzen über die Eigenschaften des Arbelos, einer bestimmten Teilmenge des Kreises.  -  Wir wollen im Folgenden beide Propositionen beweisen und damit auch die Skizzen auf der Marke erklären.


Über Kugel und Zylinder I, Proposition 21

Proposition 21 ist ein Satz über regelmäßige  2n-Ecke. Im oberen Teil der Marke und in Bild 1 sieht man ein solches Polygon mit seinem Umkreis. Zwei gegenüberliegende Ecken des Polygons ( A  und  A') werden durch einen Kreisdurchmesser verbunden. Die anderen Ecken sind mit  B, C,..., E  und  B', C',..., E'  bezeichnet; dabei sind  B  und  B', C  und  C'  usw. jeweils am Durchmesser  AA'  gespiegelt, liegen also parallel und jeweils gleich weit von  A  (und auch  A') entfernt.

Für Punkte  X, Y  soll die Bezeichnung  XY  sowohl für die Strecke zwischen  X  und  Y  als auch für deren Länge verwendet werden, da jeweils aus dem Zusammenhang ersichtlich wird, welches der beiden gemeint ist.

prop 21

Bild 1

Der Lehrsatz lautet nun:

   Proposition 21 im Buch Über Kugel und Zylinder I :    (BB' + CC' + ... + EE'):AA' = A'B:AB 

Das bedeutet: Die Summe der senkrechten Streckenlängen  BB',..., EE'  verhält sich zum Durchmesser  AA'  wie die lange zur kurzen Kathete im Thales-Dreieck mit dem rechten Winkel bei der zu  A  nächstliegenden Ecke (also  B).

In Bild 2 wird das farbig illustriert.

prop 21 farbig

Bild 2

Beweis
In Bild 3 haben alle farbigen Dreiecke die gleichen Winkel an den Ecken des Polygons (Peripheriewinkelsatz), denn diese Winkel sind Peripheriewinkel über den (gleich langen) Kreisbögen zwischen den Polygonecken (der Winkel des orangenen Dreiecks bei  B  ist der Peripheriewinkel über  AB', der Winkel des violetten Dreiecks bei  B' ist der Peripheriewinkel über  BC  usw.). Da außerdem alle farbigen Dreiecke auch rechtwinklig sind, sind sie alle ähnlich. Daraus folgt:

BF:FA = B'F:FK = CG:GK = C'G:GL = DH:HL = ... = EI:IN = E'I:IA'

prop 21 Beweis

Bild 3

Dann gilt für die Summe der Zähler  BF + B'F + ... + E'I = BF + q1·BF + ... + qm·BF = q·BF  mit  q = 1 + q1 + q2 + ... + qm  und  m = 2n - 3 ; wegen der eben festgestellten Gleichheit der Brüche gilt für die Summe der Nenner  FA + FK + ... + IA' = FA + q1·FA + ... + qm·FA = q·FA . Da in dieser Gleichung die linke Seite gleich  AA' ist, erhalten wir (BF + B'F + ... + E'I):AA' = BF:FA . Dies ist gleichbedeutend mit

(BB'+ CC'+ ... + EE'):AA' = BF:FA

Die farbigen Dreiecke in Bild 3 sind aber wegen des Peripheriewinkelsatzes auch ähnlich zum Thales-Dreieck  AA'B. Also gilt  BF:FA = A'B:AB  und damit der Satz.  


Buch der Lemmata, Proposition 5

Das Buch der Lemmata enthält drei Theoreme über den Arbelos (griech.: Schustermesser). Diese geometrische Figur entsteht durch Teilung des Durchmessers eines Halbkreises an einem beliebigen Punkt und Errichtung zweier Halbkreise (grün in Bild 4) über den beiden durch die Teilung entstandenen Strecken; der Arbelos ist dann die Restfläche (gelb in Bild 4) im großen Halbkreis bei Wegnahme der kleineren Halbkreise.

Arbelos

Bild 4

Der Beweis von Proposition 5 verwendet Proposition 1, die wir uns daher zuerst anschauen müssen. Die Skizze dazu sieht man in Bild 5:

prop 1

Bild 5

In Bild 5 haben die beiden Kreise den Berührungspunkt  A . Durch die beiden Mittelpunkte  C (kleiner Kreis) und  O  sind die parallelen Durchmesser  BD  und  EF  gezogen. Die Behauptung lautet:

   Proposition 1 im Buch der Lemmata :    A, D, F  sind kollinear (liegen auf einer Geraden).

Beweis
Zu  CO  zeichnet man die Parallele  DH , mit  H  auf dem Durchmesser des großen Kreises. Dann gilt  OH = CD = CA  und  OF = OA . Daraus folgt  HF = OF-OH = OA-CA = CO = DH . Das kleine Dreieck  Δ DHF  ist also gleichschenklig; damit gilt für die Winkel:   FDH =  HFD . Das Dreieck  Δ ACD  ist ebenfalls gleichschenklig; da  AC  parallel zu  DH , und  CD  parallel zu  HF  liegt, gilt die Gleichheit der Scheitelwinkel:   DHF =  ACD . Die Dreiecke  Δ DHF  und  Δ ACD  sind also ähnlich. Es folgt   CDA +  FDC =  HFD +  FDC = 180° wegen der Parallelität der Durchmesser. Also liegen  A, D, F  auf einer Geraden.  -  Die gleiche Argumentation gilt für den Fall, dass einer der Kreise nicht innerhalb, sondern außerhalb des anderen Kreises liegt.  


Nun zur Proposition 5, die durch die untere Skizze auf der Briefmarke dargestellt wird. Im Arbelos werden zwei Kreise eingezeichnet; beide berühren den großen Halbkreis und die gemeinsame Tangente der beiden kleinen Halbkreise; außerdem berührt jeder dieser beiden Kreise je einen der beiden kleinen Halbkreise (Bild 6). Dass durch die drei linken und die drei rechten Berührpunkte jeweils genau ein Kreis verläuft, wird im Satz über den Dreiecksumkreis bewiesen - siehe Euklid Elemente Buch IV, Proposition 5.

prop 5

Bild 6

   Proposition 5 im Buch der Lemmata :    Die beiden Kreise im Arbelos sind gleich groß.

Beweis
Der Beweis bezieht sich nur auf den Durchmesser des linken Kreises im Arbelos  -  wir werden noch sehen, warum das genügt. Seine Berührpunkte mit der Tangente der kleinen Halbkreise (Fußpunkt  C), mit dem großen Halbkreis über  AB  und dem linken Halbkreis über  AC  werden mit  E, F  und  G  bezeichnet.  EH  sei derjenige Durchmesser des linken Kreises, der parallel zum Durchmesser  AB  des großen Halbkreises liegt und somit senkrecht auf  CE  steht. Nach Proposition 1 sind  A, H, F  und  A, G, E  und  B, E, F  und  C, G, H  jeweils kollinear.  D  sei der Schnittpunkt der Geraden durch  A, F  mit der Geraden durch  C, E .  I  sei der Schnittpunkt der Geraden durch  A, E  mit dem äußeren, großen Halbkreis über  AB . Wir zeigen nun, dass  B, I, D  kollinear sind. Da  Δ ABF  als Thalesdreieck rechtwinklig ist, ist  E  der Höhenschnittpunkt des Dreiecks  Δ ABD  (Höhen  CD  und  FB ; man beachte: wir wissen noch nicht, dass  I  auf der Dreiecksseite  BD  liegt). Also steht die Gerade durch  A, E  senkrecht auf  BD . Da sie nach dem Satz des Thales auch senkrecht auf  BI  steht, liegt  I  auf  BD , und die Kollinearität von  B, I, D  ist gezeigt.  -  Beide Winkel bei  G  und beide Winkel bei  I  sind rechte Winkel, somit ist  CH  parallel zu  BD . Deshalb gilt mit zweimaliger Anwendung der Strahlensätze  AB:BC = AD:DH = AC:HE . Der Durchmesser des linken Kreises im Arbelos ist also  AC·BC:AB . Dieses Ergebnis enthält keinen der Punkte auf dem linken Kreis, sondern nur die drei Punkte auf dem Durchmesser des großen Halbkreises, und ist daher offenbar unabhängig davon, dass wir den linken Kreis im Arbelos gewählt haben; für den rechten Kreis wären im Beweis lediglich die Rollen von  A  und  B  zu vertauschen. Also sind die Durchmesser gleich.  


Hier sieht man den Ersttagsbrief:

FDC



Archimedes-Bilder aus Syrakus


Publiziert 2018-06-11          Stand 2016-06-06


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